Интегральные уравнения Ивара Фредгольма

Многочисленные задачи математики, физики и техники приводят к уравнениям вида:
ux=abKx,tutdt+fx. (5)
которые называются уравнениями Фредгольма II рода. Если ux, то получим уравнения Фредгольма I рода:
abKx,tutdt=fx.
Предполагается, что ядро удовлетворяет неравенству
ababKx,t2dxdt∞,
то есть ядро ограничено.[5] А также для fx справедливо
abfx2dx∞.
Пределы интегрирования в уравнении Фредгольма могут быть как конечными, так и бесконечными.
К уравнению Фредгольма I рода приводят задачи разведки полезных ископаемых.[4] Пусть в слое z≥h, z – глубина над поверхностью Земли, расположены источники аномального гравитационного поля, но при
0≤z≤h их нет

. И пусть Vx – потенциал гравитационного поля при
z≤h, x – горизонтальная координата. Тогда потенциал поля ux,z в 0zh является гармонической функцией
∆ux,z=0,
ux,h=Vx.
Решение ищется в виде интегральной формулы Пуассона:
ux,z=hπ-∞+∞Vξdξx-ξ2+z-h2.
В итоге получаем уравнение Фредгольма II рода:
hπ-∞+∞Vξdξx-ξ2+h2=fx 6.
Большое значение теория интегральных уравнений играет при решении задачи Дирихле. Задача Дирихле является известной задачей математической физики, к которой непосредственно сводятся задачи гидродинамики, такие, как обтекание тел, задачи кручения и изгиба в теории упругости. С задачей Дирихле также связаны некоторые проблемы в теории колебаний