Энергетический спектр

Спектральное представление стационарных случайных процессов достаточно подробно рассмотрено в литературе CITATION ИАЛ02 \l 1049 [2]. Это представление основано на том, что в качестве спектральной характеристики стационарного случайного процесса (ССП) используется усредненное по множеству реализаций значение спектральной плотности мощности ССП.
Из ССП с нулевым математическим ожиданием берется одна из бесконечных реализаций . Эта реализация заменяется усеченной (конечной) реализацией , равной нулю вне интервала . Эту усеченную реализацию можно разложить в ряд Фурье CITATION СИБ00 \l 1049 [3] с интервалом между гармониками и с комплексной амплитудой на частоте гармоники :
(1)
Средняя мощность на единицу полосы спектра для одной усеченной реализации ССП будет равна:
(2)
После усреднения величины по множеству реализаций получим среднюю мощность на единицу полосы спектра для ССП:
Введем вместо новую переменную , тогда получим CITATION ИАЛ02 \l 1033 [2]:
(3)
В этом выражении внешний интеграл имеет пределы интегрирования по от:
Подынтегральная функция отличается от нуля только когда оба аргумента и принадлежат интервалу , где наша усеченная реализация не равна нулю

. Отсюда пределы интегрирования для интеграла по при фиксированной переменной будут равны:
для (:

для (:

Отсюда следует, что разность в обоих случаях равна:
И выражение (3) можно записать в виде:
(4)
Если увеличить длительность усеченного случайного процесса до бесконечности и перейти к пределу выражения (4), то получим:
(5)
Функция - четная, поэтому второй интеграл в выражении (5) равен нулю, тогда получим:
(6)
Получается, что функция тоже четная.
Эта функция частоты представляет собой усредненную по множеству реализаций спектральную плотность мощности стационарного случайного процесса