Аксиоматическое построение поля рациональных чисел

Аксиоматическое построение поля рациональных чисел .doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Определение 7. Полем рациональных чисел называется минимальное поле, которое является расширением кольца целых чисел.
Первичные термины:
1) Q — множество, его элементы называем рациональными числами;
2) + и · — бинарные операции сложения и умножения на Q;
3) 0 — нуль — нейтральный элемент сложения на Q;
4) Z — подмножество Q, его элементы называются целыми числами;
5)⊕, ⊙- бинарные операции сложения и умножения на Z.
Определение 8. Cистема Q,,+,⋅,0,Z,⊕,⊙ называется системой рациональных чисел, если она удовлетворяет 15-ти аксиомам, составляющим следующие три группы:
1 ГРУППА Q1. ∀a, b ∈ Q∃!c∈Qa+b=c
Q2. (∀a, b, c∈Q)(a+b)+c=a+ (b+c)
Q3. (∀a, b∈Q) a+b=b+a.
Q4. (∃0∈Q)(∀a∈Q)a+0=a

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

.
Q5. ∀a∈Q∃a'∈Qa+a'=0.
Q6. ∀a, b∈Q∃!p∈Qa·b=p.
Q7. (∀a, b, c∈ Q)(a·b)·c=a·(b·c).
Q8. ∀a, b∈Qa·b= b·a.
Q9. ∀a, b, c∈Qa+b·c =a·c+b·c.
Q10. (∀a, b∈Q, a≠0) (∃x∈Q) ax=b.
2 ГРУППА Q11. Z, ⊕,⊙- кольцо целых чисел.
Q12. Z⊂Q.
Q13. (∀a, b∈Z) a+ b=a⊕b.
Q14. ∀a, b∈Za·b=a⊙b.
3 ГРУППА Q15. (аксиома минимальности): Всякое подмножество M множества Q совпадает с Q, если выполняются два условия а) Z ⊂ M;
б) (∀a, b∈M, b≠0) ba∈ Q.
Аксиомы Q1–Q15 лежат в основе аксиоматической теории рациональных чисел.
Замечание. Из определения системы рациональных чисел следует, что: 1) в Q содержится нулевой и единичный элементы (обозначаемые символами 0 и 1 соответственно);
2) для произвольного отличного от 0 рационального числа m существует обратное m-1 , и, таким образом, в Q выполнима операция деления (обозначаемая символом «:») любого числа m на n≠0, понимаемая как умножение m на n-1.
3.2 Свойства рациональных чисел
Множество рациональных чисел Q обладает всеми свойствами поля