Железнодорожная касса с 2-мя окошками продает билеты в два направления. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты, для обоих направлений одинаковы λ1=λ2=0,45 пассажиров в мин. На обслуживание пассажиров каждый кассир тратит в среднем 2 мин.
Рассматриваются два варианта обслуживания пассажиров:
первый – билеты продаются в каждом окошке в оба направления;
второй – билеты продаются в двух окошках, но в каждом из них – только в одно из направлений. Естественно, образуется две очереди, в каждой из них – пассажиры только покупающие билет в одно направление. Необходимо:
Построить АМ для 1 и 2 варианта, включая схемы СМО, графы состояний, уравнения первых 4-х состояний, записать формулы расчета характеристик СМО и ТОЛЬКО потом – выполнить расчёты по формулам.
Сравнить два варианта продажи билетов по основным характеристикам обслуживания:
Для 1-го варианта: Средняя длина очереди Lоч1, и среднее время ожидания в очереди Тож1;
Для 2-го варианта: Средняя длина очереди Lоч2, и среднее время ожидания в очереди Тож2.
Кроме того, сравнить и загрузку одного кассира в первом и во втором варианте их работы.
Объяснить причину полученного результата.
Решение
1) Билеты продаются в каждом окошке в оба направления.
В данном случае мы можем считать, что имеем двухканальную СМО с интенсивностью потока пассажиров, желающих купить билеты, равнойλ=λ1+λ2=0,45+0,45=0,9 пассажиров в мин, с неограниченной очередью.
Изобразим графически схему СМО.
Входной
потокВходной
поток
Обслуживающие
каналы
Обслуженные заявки
K1
K2
Очередь
…….
Построим граф состояний.
S0S0
λ
S1
S2
S3
…
λ
λ
λ
μ
2μ
2μ
2μ
…
Состояния СМО представляются следующим образом:
S0–все каналы обслуживания свободны,
S1 – 1 канал занят обслуживанием, 1 свободен,
S2 – все 2 канала заняты обслуживанием,
S3 – всеканалы заняты обслуживанием, в очереди 1 заявка,
S4 – всеканалы заняты обслуживанием, в очереди 2 заявки
и т.д.
Тип СМО – многоканальная СМО с неограниченной длиной очереди.
Перепишем условие в терминах теории массового обслуживания:
n=2 – число каналов обслуживания;
λ=0,9 заявок/мин – интенсивность потока заявок;
мин – время обслуживания заявки;
заявок/мин – интенсивность потока обслуживания;
–интенсивность нагрузки.
Поскольку , то процесс обслуживания будет стабилен
.
На основе графа состояний составим уравнения Колмогорова для первых 4 состояний:
Так как финальные вероятности не зависят от времени, то в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части принимаем равными нулю.
Преобразуем выражение, заменив левые части на 0:
или
Решим систему уравнений, получим результаты (предельные вероятности состояний системы) в общем виде:
Подставляя известные значения интенсивностей, находим предельные вероятности состояний системы:
Определяем характеристики СМО.
Вероятность отказа в обслуживании в такой системе не может быть, т.е.
.
Вероятность обслуживания:
.
Относительная пропускная способностьравна единице:
.
Абсолютная пропускная способность:
.
Вероятность образования очереди:
.
Средняя длина очереди:
Среднеевремя ожидания в очереди:
Среднеечисло заявок в системе:
Среднеевремя нахождения заявки в системе:
2) Билеты продаются в двух окошках, но в каждом из них – только в одно направление.
В данном случае мы можем считать, что имеем одноканальную СМО с интенсивностью потока пассажиров, желающих купить билеты, равнойλ=λ1=λ2=0,45 пассажиров в мин, с неограниченной очередью.
Изобразим графически схему СМО.
Входной
поток
Обслуживающий
канал
Обслуженные заявки
K1
Очередь
…….
Построим граф состояний.
S0
λ
S1
S2
…
λ
λ
μ
μ
μ
…
Состояния СМО представляются следующим образом:
S0–канал свободен,
S1 – канал занят, очереди нет,
S2 – канал занят, в очереди 1 заявка,
S3 – канал занят, в очереди 2 заявки
и т.д.
Тип СМО – одноканальная СМО с неограниченной длиной очереди.
Перепишем условие в терминах теории массового обслуживания:
n=1 – число каналов обслуживания;
λ=0,45 заявок/мин – интенсивность потока заявок;
мин – время обслуживания заявки;
заявок/мин – интенсивность потока обслуживания;
–интенсивность нагрузки.
Поскольку , то процесс обслуживания будет стабилен
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
