Зависимость производительности труда от величины материального стимулирования (доплаты

Так как функция распределения вероятностей F(x) является первообразной для функции плотности распределения вероятностей f(x), то зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле:
Fx=-∞xfxdx.
Если x≤0, то f(x)=0 и
Fx=-∞x0∙dx=0.
Если 0<x≤14, то f(x)=x7 и
Fx=-∞00∙dx+170xx∙dx=0+17∙x220x=x214.
Если x>14, то f(x)=0 и
Fx=-∞00∙dx+17014x∙dx+14x0∙dx=0+17∙x22014+0=1.
Таким образом, искомая функция распределения имеет вид:
F(x)=0,   x≤0               x214, 0<x≤141,  x>14,         
Находим математическое ожидание по определению:
Mx=-∞+∞x∙fx∙dx=-∞00∙dx+014x∙x7dx+14+∞0∙dx=0+17∙x33014+0=2143≈2,5.
Вычислим дисперсию по формуле
DX=MX2-MX2,
Найдем математическое ожидание X2:
Mx2=-∞+∞x2∙fx∙dx=014x2∙x7dx=17∙x44014=14428=7.
Следовательно,
DX=MX2-MX2=7-21432=0,8.
Среднеквадратическое отклонение
σX=DX=0,8=0,9.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (a, b), находится по формуле:
Pa<X<b=Fb-Fa,
тогда вероятность того, что производительность составит меньше двух единиц равна
P0<X<2=F2-F0=x214x=2=0,28.
Ответ: Mx=2,5; DX=0,8; производительность составит меньше двух единиц c вероятностью 0,28.