Заряд 2 мкКл распределен равномерно по объему шара радиуса 40 мм

Найдем для начала зависимость напряженности от расстояния от центра сферы. Согласно теореме Гаусса:
Ф=4πkΣqвнутр ⟶E(r)S(r)=4πkq(r)
где r-расстояние от центра сферы, E(r)- напряженность электрического поля как функция расстояния от центра, S(r)- площадь сферы радиусом r, q-заряд сферы радиусом r.
Выразим E(r):
Er=4πkqrSr=4πkqr4πr2=kqrr2
Введем понятие объемной плотности заряда в шаре:
ρ=QV
Тогда формула для напряженности может быть переписана как
Er=kqrr2=kρVrr2=kρ43πr3r2=43πkρr
Для любой точки, находящейся внутри сферы.
Для вычисления потенциала запишем связь между напряженностью и потенциалом:
E=-dϕdr⟶dϕ=-E×dr
Пользуясь ранее выведенной формулой для напряженности и формулой для потенциала запишем:
Rrdϕ=-Rr43πkρr×dr
ϕR-ϕr=43πkρ12(r2-R2)
Учитывая что мы ищем напряженность в центре шара (r=0):
ϕ0=ϕR+23πkρR2
где ϕR это потенциал на поверхности шара, расчитывается по формуле для эквивалентного точечного заряда.
ϕR=kQR
Таким образом
ϕ0=kQR+23πkQVR2=kQR+23πkQVR2=kQR+23πk3Q4πR3R2=kQR+kQ2R=32kQR
Считаем:
ϕ0=32×9×109×2×10-640×10-3=0.675×106=675000В
Ответ: потенциал 675 кВ