Заданы точки A-8 6 3 B-2 3 4 C7 3 1 D(-2

Найдем координаты векторов:
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=7+8;3-6;1-3=(15;-3;-2)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=-2+8;3-6;-4-3=6;-3;-7
AC,AD=15∙6+-3∙-3+-2∙-7=90+9+14=113
Угол между векторами найдем, используя определение скалярного произведения:
cosB=BA∙BCBA∙BC
BA=xA-xB;yA-yB;zA-zB=-8+2;6-3;3-4=-6;3;-1
BA=36+9+1=46
BC=xC-xB;yC-yB;zC-zB=7+2;3-3;1-4=(9;0;-3)
BC=81+0+9=90=310
cosB=-6∙9+3∙0+(-1)∙(-3)46∙310=-17460
B=arccos-17460≈142,47°
Найдем координаты вектора CD:
CD=xD-xC;yD-yC;zD-zC=-2-7;3-3;-4-1=-9;0;-5
AB=-BA=6;-3;1
AB,CD=ijk6-31-90-5=15i-9j-27k+30j=15i+21j-27k
смешанное произведение
AB∙AC∙AD=6-3115-3-26-3-7=126+36-45+18-315-36=-216
V=16∙AB∙AC∙AD=2166=36 куб.ед.
Составим параметрические уравнения прямой BD по направляющему вектору и точке B:
BD=xD-xB;yD-yB;zD-zB=-2+2;3-3;-4-4=0;0;-8
x=-2y=3z=-8t+4
проекцию точки A найдем как пересечение этой прямой и плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно к этой прямой.
-8z-3=0 => -8-8t+4-3=0 => t=18
Проекция
x=-2y=3z=3
Угол между плоскостями найдем как угол между векторами нормалей . Составим уравнения плоскостей по трем точкам:
ABC:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0
x+8y-6z-3-2+83-64-37+83-61-3=0
x+8y-6z-36-3115-3-2=0
6x+8+15y-6-18z-3+45z-3+12y-6+3x+8=0
9x+8+27y-6+27z-3=0
x+8+3y-6+3z-3=0 x+3y+3z-19=0
n1=(1;3;3)
ABD:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxD-xAyD-yAzD-zA=0
x+8y-6z-3-2+83-64-3-2+83-6-4-3=0
x+8y-6z-36-316-3-7=0
21x+8+6y-6-18z-3+18z-3+42y-6+3x+8=0
24x+8+48y-6=0
x+8+2y-6=0
x+2y-4=0
n2=1;2;0
cosγ=1∙1+3∙2+3∙012+32+32∙12+22+02=795 γ=arccos795≈44,11
площадь треугольника BCD, построенного на векторах BC и BD, найдем, используя свойство векторного произведения:
S=12∙BC,BD
BC,BD=ijk90-300-8=72j => S=722=36 кв.ед.
Составим уравнение плоскости ACD:
ACD:
x-xAy-yAz-zAxC-xAyC-yAzC-zAxD-xAyD-yAzD-zA=0
x+8y-6z-37+83-61-3-2+83-6-4-3=0
x+8y-6z-315-3-26-3-7=0
21x+8-12y-6-45z-3+18z-3+105y-6-6x+8=0
15x+8+93y-6-27z-3=0
5x+8+31y-6-9z-3=0
5x+31y-9z-199=0
Расстояние от точки B до плоскости ACD найдем по формуле:
d=5xB+31yB-9zB-19952+312+(-9)2=5∙-2+31∙3-9∙4-1991067=1521067
Составим уравнение плоскости BCD:
BCD:
x-xBy-yBz-zBxC-xByC-yBzC-zBxD-xByD-yBzD-zB=0
x+2y-3z-47+23-31-4-2+23-3-4-4=0
x+2y-3z-490-300-8=0 72y-3=0 y=3
Вектор нормали к плоскости является направляющим перпендикуляра, значит канонические уравнения перпендикуляра из точки A на плоскость BCD
n3=(0;1;0)
x-xA0=y-yA1=z-zA0
x+80=y-61=z-30 => x=-8y=t+6z=3
Подставим параметрические уравнения перпендикуляра в уравнение плоскости и найдем проекцию точки A:
y=t+6 => t+6=3 t=-3 => x=-8y=3z=3
Найдем координаты точки M пересечения медиан треугольника