Задание предполагает, что технологический параметр находится в рабочем диапазоне. Это гарантирует нормальное протекание технологического процесса. Результаты равноточных измерений получены для одной точки рабочего диапазона. Из результатов наблюдений исключены известные систематические погрешности.
Расход воды на ДНС находится в пределах от 65.00 до 80.00 м3/час. Результаты равноточных измерений следующие:
80.00 78.00 75.00 65.00 71.00 63.00 68.00
69.00 77.00 81.00 75.00 61.00 76.00 75.00
70.00 65.00
Требуется: 1. Оценить точность результатов измерений;
2. Определить пределы абсолютной основной погрешности;
3. Выбрать измерительный прибор.
Решение
Исходные данные и результаты вычислений представлены в таблице 1.
Таблица 1 Расчет точности результатов измерений
№ Расход, м3/час
Xi-X
min, max Xi-X2
Xi-X>ZP*2*S
Xi-X>±3*S
1 80 8,2
67,24 8,2 < 14,53 8,2 < 18,63
2 78 6,2
38,44 6,2 < 14,53 6,2 < 18,63
3 75 3,2
10,24 3,2 < 14,53 3,2 < 18,63
4 65 -6,8
46,24 6,8 < 14,53 6,8 < 18,63
5 71 -0,8
0,64 0,8 < 14,53 0,8 < 18,63
6 63 -8,8
77,44 8,8 < 14,53 8,8 < 18,63
7 68 -3,8
14,44 3,8 < 14,53 3,8 < 18,63
8 69 -2,8
7,84 2,8 < 14,53 2,8 < 18,63
9 77 5,2
27,04 5,2 < 14,53 5,2 < 18,63
10 81 9,2 max 84,64 9,2 < 14,53 9,2 < 18,63
11 75 3,2
10,24 3,2 < 14,53 3,2 < 18,63
12 61 -10,8 min 116,64 10,8 < 14,53 10,8 < 18,63
13 76 4,2
17,64 4,2 < 14,53 4,2 < 18,63
14 75 3,2
10,24 3,2 < 14,53 3,2 < 18,63
15 70 -1,8
3,24 1,8 < 14,53 1,8 < 18,63
16 65 -6,8
46,24 6,8 < 14,53 6,8 < 18,63
1149 85
578,44 m=0 нет грубых промахов
Среднее арифметическое Х результата измерения вычисляем по формуле:
X=1n⋅i=1nXi, (1)где Xi - i-й результат наблюдения; n - число единичных наблюдений.
В соответствии с исходными данными получаем:
X=1n⋅i=1nXi=116⋅i=116Xi=114916=71,8м3ч.
Среднее квадратическое отклонение S результата единичного наблюдения, взятого из совокупности таких измерений, вычисляют по формуле:
S=1n-1⋅i=1n(Xi-X)2. (2)
Среднее квадратическое отклонение S(X) результата измерения является параметром функции распределения и подсчитывается по формуле:
SX=Sn, (3)Найдём эти параметры в условиях нашего задания:
S=(Xi-X)2n-1=578,4416-1=6,21 м3ч;
SX=Sn=6,2116=1,55 м3ч.
Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности измерения для результатов небольшого числа наблюдений принадлежащих нормальному распределению, находятся по формуле:
ε=tp⋅S(X),(4)
где tp - коэффициент Стьюдента, который, в свою очередь, в зависимости от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдения n находят по таблице 2.
В нашем задании в соответствии с указаниями следует принять доверительную вероятность равной P=0,95
. По данным таблицы 2 ей соответствует при числе n-1=16-1=15 значение коэффициента Стьюдента tp=2,135.
Тогда доверительные границы:
ε=tp⋅SX=2,135⋅1,55=3,31 м3ч.
Таблица 2. Значения коэффициента tp распределения Стьюдента
Число результатов
наблюдений
n-1 Доверительная
вероятность Р Число результатов
наблюдений
n-1 Доверительная
вероятность Р
0.9 0.95 0.99
0.9 0.95 0.99
2 2.92 4.30 9.92 12 1.78 2.18 3.06
3 2.35 3.18 5.84 14 1.76 2.15 2.98
4 2.13 2.78 4.60 16 1.75 2.12 2.92
5 2.02 2.57 4.03 18 1.73 2.10 2.88
6 1.94 2.48 3.71 20 1.72 2.09 2.85
7 1.90 2.37 3.50 22 1.72 2.07 2.82
8 1.86 2.31 3.36 25 1.71 2.06 2.79
9 1.83 2.26 3.25 30 1.70 2.04 2.75
10 1.81 2.32 3.17 1.65 1.96 2.58
Соответствующий результат измерения определяется следующим образом:
X=X±εn,P. (5)Имеем:
X=X±εn,P=71,8±3,3 м3ч (16; 0,95).
Проверка закона распределения
Правильность выбора нормального распределения, характеризующего рассеяние результатов наблюдений, проверяют при n50 по составному критерию.
По критерию 1
Вычисляют отношение d по формуле:
d=i=1nXi-Xn⋅S*, (6)
где S* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле:
S*=i=1nXi-X2n. (7)
Результаты измерений можно считать распределенными нормально, если dq1<d(1-q), где dq1, d(1-q1) - квантили распределения, получаемые из таблицы 3 по n, q1, (1-q1), причем q1 - заранее выбранный уровень значимости критерия (для доверительной вероятности Р=0,95 выбираем 5%).
Таблица 3. Статистика d
n (1-q1)100% q1100%
1% 5% 95% 99%
16 0.9137 0.8884 0.7236 0.6829
21 0.9001 0.8768 0.7304 0.6950
26 0.8901 0.8686 0.7360 0.7041
31 0.8826 0.8625 0.7404 0.7220
36 0.8769 0.8575 0.7440 0.7167
Производим расчеты:
S*=578,4416=6,01м3ч.
d=8516⋅6,01=0,8839.
dq1=0,7236<=0,8839<d(1-q1)=0,8884.
Неравенство выполняется
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
