Задание на контрольную работу для всех вариантов включает следующие пункты

Передаточная функция звена имеет вид:
Hz=1-z-21-0.77z-1+0.84z-2
С учетом того, что передаточная функция – это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:
Hz=ZynZxn,
Имеем разностное уравнение:
yn=xn-xn-2+0.77yn-1-0.84yn-2
На основе полученного разностного уравнения изобразим структуру фильтра:
4.Запишем формулу импульсной характеристики (ИХ) с учетом нулевых начальных условий.
где r* и φ*:
r*=a2=0.84=0.92
φ*=arccos-a12r*=arccos0.772*0.92=1.137
5.Рассчитаем 5 отсчетов ИХ по полученной формуле.
n h(n)
0 h0=0.920sin⁡(φ*)sin⁡(φ*)=1
1 h1=0.921sin⁡(2φ*)sin⁡(φ*)=0.77
2 h2=0.922sin⁡(3φ*)sin⁡(φ*)-0.920sin⁡(φ*)sin⁡(φ*)=-1.25
3 h3=0.923sin⁡(4φ*)sin⁡(φ*)-0.921sin⁡(2φ*)sin⁡(φ*)=-1.61
4 h2=0.924sin⁡(5φ*)sin⁡(φ*)-0.922sin⁡(3φ*)sin⁡(φ*)=-0.19
6.Рассчитаем 5 отсчетов ИХ с помощью РУ:
hn=xn-xn-2+0.77hn-1-0.84hn-2
n h(n)
0 h0=x0=1
1 h1=0.77h0=0.77
2 h2=-x0+0.77h1-0.84h0=-1.25
3 h3=0.77h2-0.84h1=-1.61
4 h4=0.77h3-0.84h2=-0.19
7.Сравним результаты вычислений пп . 5, 6.
Видно, что результаты совпали. Значит, значения рассчитаны верно.
8.Построим график ИХ (5 отсчетов).
9.Изобразим карту нулей и полюсов.
Рассчитаем нули. Для этого приравняем числитель передаточной функции к 0:
1-z-2=0
Домножив на z2, имеем:
z2-1=0
Решим это уравнение:
z2=1
Определим нули:
z1,20=±1
Рассчитаем полюса системы. Для этого приравняем знаменатель передаточной функции к 0:
1-0.77z-1+0.84z-2=0
Домножив на z2, имеем:
z2-0.77z+0.84=0
Решим это уравнение:
D=0.772-4*0.84=0.59-3.36=-2.77
Определим полюса:
z1,2=0.77+-2.772=0.38±0.83j
Представим их в показательной форме:
z1,2=0.91e±j1.14
Изобразим карту нулей и полюсов:
Как видно, звено устойчиво, так как полюса лежат внутри единичной окружности.
10.Запишем формулы для расчета АЧХ и ФЧХ в произвольной точке:
АЧХ:
Aω=Hjω=(1-1cos2ω)2(-1sin2ω)2(1-0.77cosω+0.84cos2ω)2+(-0.77sinω+0.84sin2ω)2
ФЧХ:
φω=arctg-0.77sinω+0.84sin⁡(2ω)1-0.77cosω+0.84cos⁡(2ω)-arctg-sin⁡(2ω)1-cos⁡(2ω)
11.Сделаем вывод о качественном характере АЧХ и ФЧХ по карте нулей и полюсов.
Относительно АЧХ можно сделать следующие выводы:
-передаточная функция имеет 2 комплексно-сопряженных полюса, значит, внутри основной полосы максимум АЧХ расположен примерно на частоте ω*=1.137;
- внутри основной полосы частот АЧХ не имеет минимума;
- на границах основной полосы частот ω = 0 и ω = π АЧХ имеет минимумы.
Относительно ФЧХ можно сказать, что внутри основной полосы частот и на ее границах ФЧХ представляет собой непрерывную функцию, не имеющую скачков на π .
12.Выполнить экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ