Задана таблица значений функции y=y(x).
Таблица 1.1.
x 1 2+0,1n 4 5 6+0,1n
y 2 6 5–0,1n 7 4
n = 1 – номер по журналу.
Построить интерполяционный многочлен.
Найти все экстремумы многочлена и корни, используя любой метод решения.
Построить график интерполяционного многочлена.
Точность вычислений ε = 0,001.
Решение
Задана таблица значений функции y = y(x).Таблица 1.2.
x 1 2,1 4 5 6,1
y 2 6 4,9 7 4
Построим для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона.
Число узлов равно пяти, значит, многочлен Ньютона будет многочленом четвертой степени.
P4x=C0+C1x-1+C2x-1x-2,1+C3x-1x-2,1x-4+C4x-1x-2,1x-4x-5.
Найдем последовательно коэффициенты C0, C1, C2, C3, C4, подставляя в это равенство пары значений x и y из таблицы 2.
При x = 1P41=2
C0=2
При x = 2,1P42,1=6
2+C12,1-1=6
C1=3,6364
При x = 4P44=4,9
2+3,63644-1+C24-14-2,1=4,9
C2=-1,4051
При x = 5P45=7
2+3,63645-1-1,40515-15-2,1+C35-15-2,15-4=7
C3=0,5822
При x = 6,1P46,1=4
2+3,63646,1-1-1,40516,1-16,1-2,1+0,58226,1-16,1-2,16,1-4+C46,1-16,1-2,16,1-46,1-5=4
C4=-0,2721
После подстановки найденных коэффициентов в многочлен получим:
P4x=2+3,6364x-1-1,4051x-1x-2,1+0,5822x-1x-2,1x-4-0,2721x-1x-2,1x-4x-5.
После раскрытия скобок и приведения подобных получим:
P4x=-0,2721x4+3,8749x3-19,1451x2+38,4493x-20,907.
Значения интерполяционного многочлена в заданных узлах приведены в таблице 1.3.Таблица 1.3.
x 1 2,1 4 5 6,1
y 2 6 4,9 7 3,9999
Найдем экстремумы многочлена. Для этого вычислим первую производную многочлена.
P4'x=-1,0885x3+11,6248x2-38,2903x+38,4493
Чтобы найти точки экстремума решим уравнение
P4'x=0
-1,0885x3+11,6248x2-38,2903x+38,4493=0
Функция меняет знак на трех отрезках: 1;2, 3;4, 5;6. Определим приближенное значение x методом бисекции.
Рис.1.1. График функции P4'x.
а) На левом конце отрезка 1;2 функция принимает положительное значение, а на правом – отрицательное
P4'1=10,6954, P4'2=-0,33999.
Вычисления выполним, записывая промежуточные результаты в виде таблицы
. Вычисления выполняем до момента, пока не выполнится условие
bn-an≤2ε.
Таблица 1.4.
n an (+)
bn (-)
xn+1=(an+bn)/2
P4'x
bn-an
0 1 2 1,5 3,496047 1
1 1,5 2 1,75 1,208645 0,5
2 1,75 2 1,875 0,348361 0,25
3 1,875 2 1,9375 -0,01651 0,125
4 1,875 1,9375 1,90625 0,160653 0,0625
5 1,90625 1,9375 1,921875 0,070767 0,03125
6 1,921875 1,9375 1,9296875 0,026805 0,015625
7 1,929688 1,9375 1,93359375 0,005068 0,007813
8 1,933594 1,9375 1,935546875 -0,00574 0,003906
9 1,933594 1,935547 1,934570313 -0,00034 0,001953
Приближенное значение x≈1,935 с точностью ±0,001.
Максимум P41,935 =6,068.
б) На левом конце отрезка 3;4 функция принимает отрицательное значение, а на правом – положительное
P4'3=-1,1877, P4'4=1,6211.
Вычисления выполним, записывая промежуточные результаты в виде таблицы. Вычисления выполняем до момента, пока не выполнится условие
bn-an≤2ε.
Таблица 1.5.
n an (-)
bn (+)
xn+1=(an+bn)/2
P4'x
bn-an
0 3 4 3,5 0,16781 1
1 3 3,5 3,25 -0,5732 0,5
2 3,25 3,5 3,375 -0,21213 0,25
3 3,375 3,5 3,4375 -0,02372 0,125
4 3,4375 3,5 3,46875 0,071754 0,0625
5 3,4375 3,46875 3,453125 0,023931 0,03125
6 3,4375 3,453125 3,4453125 0,000082 0,015625
7 3,4375 3,445313 3,44140625 -0,01183 0,007813
8 3,441406 3,445313 3,443359375 -0,00587 0,003906
9 3,443359 3,445313 3,444335938 -0,0029 0,001953
Приближенное значение x≈3,444 с точностью ±0,001.
Минимум P43,444 =4,4353.
в) На левом конце отрезка 5;6 функция принимает положительное значение, а на правом – отрицательное
P4'5=1,5556 P4'6=-7,9154.
Вычисления выполним, записывая промежуточные результаты в виде таблицы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
