Задана схема электрической цепи. Требуется определить реакцию электрической цепи, если воздействие, задаваемое электродвижущей силой источника напряжения или источника тока, постоянно и равно
et=100 B Jt=1 A
Расчет выполнить:
а) классическим методом;
б) операторным методом.
Построить зависимость искомой реакции от времени на промежутке времени t от 0 до (4 – 5) τ.
Рис.1.1. Заданная схема
Решение
Дано: I=1 A, R1=8 Ом, R2=16 Ом, L=18 мГн, С=350 мкФ. Найти: iR1.
Классический метод
1) Система уравнений после замыкания ключа
i=Ii1+i2-I=0R1i1+Ldidt-R2i2-UC=0i2=CdUCdt
2) Определяем независимые начальные условия
UC0+=0 i10+=It=1 A
3) Составим схему принужденного режима
i1пр=I=1 A i2пр=0 A
UCпр=R1·i1пр=8·1=8 B
Рис.1.2
4) Составим выражение операторного сопротивления, составив схему цепи для его определения (рис.1.3):
Рис.1.3
Тогда эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва составит:
Zp=pL+R1+R2+1pC
Приравниваем его к нулю
R1+R2+1pC+pL=0
Приводим к общему знаменателю
R1pC+R2pC+1+LCp2pC=0
R1pC+R2pC+1+LCp2=0
LCp2+pCR1+R2+1=0
Подставляем данные
18∙10-3∙350∙10-6p2+p∙350∙10-68+16+1=0
6,3∙10-6p2+8,4∙10-3p+1=0
D=b2-4ac=8,4∙10-32-4∙6,3∙10-6∙1=4,536∙10-5
p1,2=-b±D2a=-8,4∙10-3±4,536∙10-52∙6,3∙10-6
p1=-132 p2=-1201
Корни характеристического уравнения вещественные и различные, следовательно, переходный процесс будет апериодическим.
5) Свободная составляющая тока будет иметь вид
i1св=A1e-132t+A2e-1201t
Полный ток
i1=i1пр+i1св=1+A1e-132t+A2e-1201t
6) С учетом начальных условий для t=0+ запишем
i10+=A1e-132t+A2e-1201t=1
откуда при t=0
A1+A2=0
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений для t=0+
i0+=Ii10++i20+-i0+=0R1i10++Ldi1dtt=0+-R2i20+-UC0+=0i20+=CdUCdtt=0+
Подставим в нее независимые начальные условия
i0+=11+i20+-1=0, откуда i20+=0 8∙1+Ldi1dtt=0+-16∙0-0=00=CdUCdtt=0+
Учтем независимые начальные условия и из 3-его уравнения системы получим, что
Ldi1dt=-8, откуда
di1dt=-8L=-818∙10-3=-444,444
Далее продифференцируем выражение для тока i1
di1dt=A1e-132t+A2e-1201t'=-132A1e-132t-1201A2e-1201t
Запишем его для момента времени t=0+
di1dtt=0+=-132A1e-132t-1201A2e-1201t
Учтем полученное выше равенство для производной и получим второе уравнение для определения A1 и A2
. Решим систему:
A1+A2=0-132A1-1201A2=-444,444
Из 1-го уравнения
A1=-A2
Подставим это значение во 2-е уравнение
-132-A2-1201A2=-444,444
A2=-444,444132-1201=0,416
откуда
A1=-A2=-0,416
С учётом полученных значений постоянных интегрирования запишем закон изменения тока i1 (или iR1):
i1=1-0,416e-132t+0,416e-1201t
Операторный метод
Определим ток i1 после замыкания ключа S операторным методом.
1) Изобразим операторную схему замещения для режима после коммутации (рис.1.4)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
