Задана схема электрической цепи

Дано: E=100 В, R1=12 Ом, R2=14 Ом, L=15 мГн, С=340 мкФ. Найти: iR2.
Классический метод
1. Обозначим на схеме токи, узлы, контура и направления их обхода (рис.1.2)
Рис.1.2. Расчетная схема
Система уравнений по законам Кирхгофа после коммутации (искомый ток iR2 через R2 обозначим просто как i):
i-i1-i2=0i1R1-uC=0uC+iR2+Ldidt=E
Изобразим схему цепи до коммутации (рис.1.3):
Рис.1.3. Режим цепи до коммутации
записываем независимые начальные условия, т.е. для UC(0+) и iL(0+):
UC0+=E=100 B; i0+=0 A - через емкость постоянный ток не протекает
изобразим схему цепи в принужденном режиме (рис.1.4):
Рис.1.4. Режим цепи после коммутации
Параметры установившегося режима
iуст=i1=ER1+R2=10012+14=3,846 A
UCуст=iуст∙R1=3,846∙12=46,152 B
Определим корни характеристического уравнения и вид свободной составляющей. Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва (рис.1.5) составит:
Рис.1.5. Схема к определению характеристического сопротивления
Zp=pL+R2+R1∙1pCR1+1pC=pL+R2R1+1pC+R1∙1pCR1+1pC=pL+R2R1pC+1+R1R1pC+1
Приравниваем к нулю, подставляем данные и получаем:
pL+R2R1pC+1+R1=0
0,015p+1412p·340·10-6+1+12=0
0,015p+144,08·10-3p+1+12=0
6,12·10-5p2+0,015p+0,05712p+14+12=0
6,12·10-5p2+0,07212p+26=0
D=b2-4ac=0,072122-4∙6,12·10-5∙26=-1,164·10-3
p1,2=-b±D2a=-0,07212±-1,164·10-32∙6,12·10-5=-589±j279
Поскольку корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые, то свободная составляющая тока имеет вид:
iсв=Ae-589t∙sin279t+φ
Переходный процесс носит колебательный характер . Полный ток
i=iпр+iсв=3,846+Ae-589t∙sin279t+φ
Определим постоянные интегрирования A и φ. Первое уравнение для определения A и φ получим, используя начальные условия i0+=0 A
3,846+Asinφ=0
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для момента t=0+:
i(0+)-i1(0+)-i2(0+)=0i1(0+)R1-uC(0+)=0uC(0+)+i(0+)R2+Ldidtt=0+=E
Учтем независимые начальные условия. Тогда из 3-его уравнения с учетом того, что UC0+=E=100 B; i0+=0 получаем, что
Ldidt=0, тогда didt=0L=0
Далее продифференцируем выражение полного тока:
didt=-589Ae-589tsin279t+φ+279Ae-589tcos279t+φ
Запишем его для t=0+:
-589Asinφ+279Acosφ
и приравняем к ранее рассчитанному значению
-589Asinφ+279cosφ=0 – это второе уравнение для расчета постоянных интегрирования. Решим систему:
3,846+Asinφ=0-589Asinφ+279Acosφ=0
Из первого уравнения системы
A=-3,846sinφ
Подставляем A=-3,846sinφ во второе уравнение:
-589-3,846sinφsinφ+279-3,846sinφcosφ=0
2265,294-1073,034∙ctgφ=0
ctgφ=2265,2941073,034=2,11111
tgφ=1ctgφ=12,11111=0,474
φ=25,36°
Соответственно, тогда A=-3,846sin25,36°=-8,98
Тогда искомый ток будет равен
iR2=i=3,846-8,98e-589t∙sin279t+25,36°
Построим зависимость iR2(t)