Задана плотность распределения вероятностей fx н с в Х

Плотность распределения fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞∞Cx2+12dx=C-∞∞1+x2-x2x2+12dx=C-∞∞1x2+1dx--∞∞x2x2+12dx=u=xdv=xx2+12dxdu=dxv=-12x2+1=Carctg x-∞∞+x2x2+1-∞∞--∞∞12x2+1dx=Cπ2+π2+0-12arctg x-∞∞=Cπ-12π2+π2=Cπ-π2=C∙π2=1
C∙π2=1⟹C=2π
Плотность распределения имеет вид
fx=2πx2+12, -∞<x<∞
Найдем функцию распределения используя формулу
Fx=-∞xftdt
Fx=-∞x2πt2+12dt=2π-∞x1+t2-t2t2+12dt=2π-∞x1t2+1dt--∞xt2t2+12dt=u=tdv=tt2+12dtdu=dtv=-12t2+1=2πarctg t-∞x+t2t2+1-∞x--∞x12t2+1dt=2πarctg x+π2+x2x2+1-12arctg t-∞x=2πarctg x+π2+x2x2+1-12arctg x+π2=2π12arctg x+π2+x2x2+1-π4=1πarctg x+1+xπx2+1-12=1πarctg x+xπx2+1+12
Функция распределения имеет вид
Fx=1πarctg x+xπx2+1+12, -∞<x<∞
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a; b равна
Pa≤X≤b=Fb-Fa
Положив, a=0, b=1, получим
P0≤X≤1=F1-F0=1πarctg 1+1π12+1+12-1πarctg 0-0π02+1-12=1π∙π4+12π=14+12π≈0,25+0,1592=0,4092
Ответ: 2π; Fx=1πarctg x+xπx2+1+12; 0,4092.