Задана плотность распределения случайной величины Х

Параметр A из свойства плотности распределения непрерывной случайной величины:
-∞∞f(x)dx=1
0∞Ae-2xdx=-12limb⟶∞Ae-2x0b=-A20-1=1⇒A=2
fx=2e-2x,x≥00,x<0
– показательное распределение λ=2.
Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины, по определению:
Fx=PX<x=-∞xf(t)dt
1) x≤0: F(x)=-∞x0dt=0
2) x>0: Fx=-∞00dt+0x2e-2tdt=-e-2t0x=1-e-2x
Таким образом
Fx=1-e-2x,x>00,x≤0
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=0∞x∙2e-2xdx=по частям: udv=uv-vduu=x; du=dx;v=2e-2xdx=-e-2x=limb⟶∞-xe-2x0b+
+0∞e-2xdx=0-12limb⟶∞e-2x0b=12=1λ
Дисперсия
DX=-∞∞x-MX2f(x)dx=MX2-M2X
MX2=-∞∞x2fxdx=0∞x2∙2e-2xdx=по частям: udv=uv-vduu=x2; du=2xdx;v=2e-2xdx=-e-2x=
=limb⟶∞-x2e-2x0b+20∞xe-2xdx=MX=12
DX=12-122=14=1λ2
Среднее квадратическое отклонение:
σX=DX
σX=14=12=1λ
График дифференциальной функции (плотности) распределения f(x)
Рис