Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова Λ

Марковскую цепь с непрерывным временем можно изображать размеченным графом состояний.
Составим граф состояний для заданной матрицы интенсивностей переходов
Λ=λ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33=-2202-5313-4
Состояние Si называется существенным, если нет другого состояния Sj такого, что, перейдя однажды каким-то способом из Si в Sj, система уже не может вернуться в Si.
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова
p1't,p2't,p3't=p1t,p2t,p3t∙λ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33
Тогда получим систему для заданной матрицы интенсивностей переходов:
p1'=-2p1+2p2+0∙p3p2'=2p1-5p2+3p3p3'=p1+3p2-4p3
Найдем стационарное вероятности, полагая что
p1'=0, p2'=0, p3'=0
Присоединим к системе уравнений условие p1+p2+p3=1, получим систему линейных алгебраических уравнений:
p1'=-2p1+2p2+0∙p3p2'=2p1-5p2+3p3p3'=p1+3p2-4p3
p1-p2=02p1-5p2+3p3=0p1+3p2-4p3=0p1+p2+p3=1p1=13p2=13p3=13
Решение полученная система дает стационарные точки системы: Q13;13;13
Для отыскания предельного распределения вероятностей состояний будем решать систему:
p1'=-2p1+2p2p2'=2p1-5p2+3p3p3'=p1+3p2-4p3
Исключая переменную p3=1-p1-p2, получим:
p1'=-2p1+2p2p2'=2p1-5p2+31-p1-p2p1'=-2p1+2p2p2'=-p1-8p2+3
Получаем линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений . Пользуясь метод исключения, выразим из первого уравнения системы p2:
2p2=-2p1-p1'
p2=-12p1'-p1
Далее дифференцируем по t обе части:
dp2dt=-12∙dp1dt-p1t'=-12∙d2p1d2t-dp1dt
Подставим p2 и dp2dt во второе уравнение системы dp2dt=-12∙d2p1d2t-dp1dt:
p2'=-p1-8p2+3
-12∙d2p1d2t-dp1dt=-p1-8∙-12p1'-p1+3
-12∙d2p1d2t-dp1dt=-p1+4∙dp1dt+8p1+3
-12∙d2p1d2t-5∙dp1dt-7∙p1=3
d2p1d2t+10∙dp1dt+14∙p1=-6
В результате произведенных преобразований получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
d2p1d2t+10∙dp1dt+14∙p1=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
λ2+10λ+14=0
11∙λ2+56∙λ+13=0
D=102-4∙1∙14=100-56=44>0
λ1,2=-10±442=-10±2112=-5±11
λ1=-5-11≈-8,317 и λ2=-5+11≈-1,683
Корнями характеристического уравнения являются два различных действительных числа.
Следовательно, общее решение соответствующего линейного однородного уравнения имеет вид:
p1t=C1e-8,317∙t+C2e-1,683∙t
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде p1=A.
Найдем первую и вторую производную:
p1'=p1''=0
Подставим p1, p1', p1'' в левую часть неоднородного уравнения:
1∙0+10∙0+14∙A=-6
14∙A=-6
A=-614=-27
Таким образом: p1=-27
В результате: p1t=C1e-8,317∙t+C2e-1,683∙t-27
Теперь найдем функцию p2t