Задана функция: z=f(x,y). Исследовать данную функцию на экстремум. Найти наибольшее и наименьшее значения функции. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Задана функция: z=f(x,y). Исследовать данную функцию на экстремум. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Задана функция: z=f(x,y). Исследовать данную функцию на экстремум. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Задана функция: z=f(x,y). Исследовать данную функцию на экстремум. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж. z=-2y2+4xy-6x-1, D x=0, y=0, x+y-3=0

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(-2y2+4xy-6x-1)x'=4y-6
∂z∂y=x=const=(-2y2+4xy-6x-1)y'=-4y+4x
4y-6=0-4y+4x=0 y=32x=32
Получили критическую точку:
M32;32
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=4y-6x'=0
∂2z∂y2=-4y+4xy'=-4
∂2z∂x∂y=(-4y+4x)x'=4
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M=0 C=∂2z∂y2M=-4 B=∂2z∂x∂yM=4
Вычислим значение выражения:
AC-B2=-16
Так как AC-B2<0 то в точке M глобального экстремума нет
Построим область D
Точка M принадлежит области D
Найдем угловые точки:
x=0y=0 M10;0 x=0x+y-3=0 M20;3 y=0x+y-3=0=0 M3(3;0)
Исследуем границу области:
x=0 y∈[0;3]
z=-2y2-1 ∂z∂y=-4y ∂z∂y=0 => y=0 M1(0;0)
y=0 x∈[0;3]
z=-6x-1 ∂z∂x=-6
Критических точек нет
y=-x+3 x∈[0;3]
z=-2-x+32+4x-x+3-6x-1=-2x2+12x-18-4x2+12x-6x-1=
=-6x2+18x-19
∂z∂x=-12x+18 ∂z∂x=0 => x=32 y=32 M32;32
Находим значение функции в получившихся точках:
zM=z32;32=-184+9-9-1=-224=-112
zM1=z0;0=-1
zM2=z0;3=-19
zM3=z3;0=-19
Таким образом,
zmax=zM1=0
zmin=zM2=zM3=-19

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу