Задан непрерывный (аналоговый) фильтр

Записываем передаточную функцию непрерывного фильтра (при последовательном соединении звеньев передаточные функции умножаются):
Wp=W1pW2p=K1pT1p+1∙K2T22p+1T21p+1=K1K2T22p2+K1K2pT1T21p2+T1+T21p+1
Поскольку передаточная функция есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала, то можем записать:
xpyp=K1K2T22p2+K1K2pT1T21p2+T1+T21p+1
Откуда получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра в операторной форме:
T1T21p2+T1+T21p+1xp=K1K2T22p2+K1K2pyp
С учетом соответствия между сигналами и их производными во временной области и операторными изображениями:
xp xt; pnxp dnxtdtn
yp yt; pnyp dnytdtn
Получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра:
T1T21d2xtdt2+T1+T21dxtdt+xt=K1K2T22d2ytdt2+K1K2dytdt
Переход от дифференциального уравнения в непрерывном времени к разностному уравнению в дискретном времени основан на замене производных от времени на разности первого порядка:
dxtdt=xt-xt-∆t∆t=xk-xk-1∆t
dytdt=yt-yt-∆t∆t=yk-yk-1∆t
где ∆t=tk-tk-1 - шаг дискретизации по времени.
Для перехода к разностному уравнению используем z-преобразование дискретных сигналов:
Zxk=k=0∞xkz-k=xz
Zyk=k=0∞ykz-k=yz
При этом умножение сигнала на z-n в пространстве z-преобразования соответствует запаздыванию сигнала во временной области на n шагов:
xk-n z-nxz
yk-n z-nyz
Для разностей первого порядка z-преобразование имеет вид:
Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Таким образом, для производных первого порядка во временной области в пространстве z-преобразования ставится в соответствие следующее выражение:
dxtdt Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
dytdt Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Для производных более высокого порядка в дискретном времени ставятся в соответствие разности такого же порядка и в пространстве z-преобразования старшим производным соответствуют выражения:
dmxtdtm 1-z-1∆tmxz; dmytdtm 1-z-1∆tmyz
Таким образом, исходному дифференциальному уравнению соответствует следующее уравнение в пространстве z-преобразования:
T1T211-z-1∆t2xz+T1+T211-z-1∆txz+xz=K1K2T221-z-1∆t2+K1K21-z-1∆tyz
Раскрывая скобки:
T1T21∆t2xz-2T1T21∆t2z-1xz+T1T21∆t2z-2xz+T1+T211-z-1∆txz+xz=
=K1K2T22∆t2yz-2K1K2T22∆t2z-1yz+K1K2T22∆t2z-2yz+K1K21-z-1∆tyz
И группируя слагаемые с одинаковыми степенями z, получаем:
T1T21∆t2+T1+T21∆t+1xz+-2T1T21∆t2-T1+T21∆tz-1xz+T1T21∆t2z-2xz=
=K1K2T22∆t2+K1K2∆tyz+-2K1K2T22∆t2-K1K2z-1yz+K1K2T22∆t2z-2yz
Выполняя обратное z-преобразование, получаем разностное уравнение:
T1T21∆t2+T1+T21∆t+1xk+-2T1T21∆t2-T1+T21∆txk-1+T1T21∆t2xk-2=
=K1K2T22∆t2+K1K2∆tyk+-2K1K2T22∆t2-K1K2yk-1+K1K2T22∆t2yk-2