Задан непрерывный (аналоговый) фильтр

Записываем передаточную функцию непрерывного фильтра (при последовательном соединении звеньев передаточные функции умножаются):
Wp=W1pW2p=K1T1p+1p∙K2pT2p+1=K1K2T1p+1T2p+1=K1K2T1p+K1K2T2p+1
Поскольку передаточная функция есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала, то можем записать:
xpyp=K1K2T1p+K1K2T2p+1
Откуда получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра в операторной форме:
T2p+1xp=K1K2T1p+K1K2yp
С учетом соответствия между сигналами и их производными во временной области и операторными изображениями:
xp xt; pnxp dnxtdtn
yp yt; pnyp dnytdtn
Получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра:
T2dxtdt+xt=K1K2T1dytdt+K1K2yt
Переход от дифференциального уравнения в непрерывном времени к разностному уравнению в дискретном времени основан на замене производных от времени на разности первого порядка:
dxtdt=xt-xt-∆t∆t=xk-xk-1∆t
dytdt=yt-yt-∆t∆t=yk-yk-1∆t
где ∆t=tk-tk-1 - шаг дискретизации по времени.
Для перехода к разностному уравнению используем z-преобразование дискретных сигналов:
Zxk=k=0∞xkz-k=xz
Zyk=k=0∞ykz-k=yz
При этом умножение сигнала на z-n в пространстве z-преобразования соответствует запаздыванию сигнала во временной области на n шагов:
xk-n z-nxz
yk-n z-nyz
Для разностей первого порядка z-преобразование имеет вид:
Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Таким образом, для производных первого порядка во временной области в пространстве z-преобразования ставится в соответствие следующее выражение:
dxtdt Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
dytdt Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Таким образом, исходному дифференциальному уравнению соответствует следующее уравнение в пространстве z-преобразования:
T21-z-1∆txz+xz=K1K2T11-z-1∆tyz+K1K2yz
Группируя слагаемые с одинаковыми степенями z, получаем:
T2∆t+1xz-T2∆tz-1xz=K1K2T1∆t+K1K2yz-K1K2T1∆tz-1yz
Выполняя обратное z-преобразование, получаем разностное уравнение:
T2∆t+1xk-T2∆txk-1=K1K2T1∆t+K1K2yk-K1K2T1∆tyk-1