Задан непрерывный (аналоговый) фильтр
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Задан непрерывный (аналоговый) фильтр, предназначенный для выполнения необходимого амплитудно-частотного и фазо-частотного преобразования сигнала измерений y в выходной сигнал x. Фильтр представляет собой последовательное соединение двух звеньев с известными передаточными функциями W1p и W2p (рис. 1).
Рисунок 1 – Фильтр
Вид передаточной функции:
W1p=K1T1p+1p;W2p=K2pT2p+1
Требуется получить:
1. Дифференциальное уравнение непрерывного фильтра.
2. Разностное уравнение дискретного (цифрового) фильтра, соответствующего непрерывному фильтру.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Записываем передаточную функцию непрерывного фильтра (при последовательном соединении звеньев передаточные функции умножаются):
Wp=W1pW2p=K1T1p+1p∙K2pT2p+1=K1K2T1p+1T2p+1=K1K2T1p+K1K2T2p+1
Поскольку передаточная функция есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала, то можем записать:
xpyp=K1K2T1p+K1K2T2p+1
Откуда получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра в операторной форме:
T2p+1xp=K1K2T1p+K1K2yp
С учетом соответствия между сигналами и их производными во временной области и операторными изображениями:
xp xt; pnxp dnxtdtn
yp yt; pnyp dnytdtn
Получаем дифференциальное уравнение непрерывного фильтра:
T2dxtdt+xt=K1K2T1dytdt+K1K2yt
Переход от дифференциального уравнения в непрерывном времени к разностному уравнению в дискретном времени основан на замене производных от времени на разности первого порядка:
dxtdt=xt-xt-∆t∆t=xk-xk-1∆t
dytdt=yt-yt-∆t∆t=yk-yk-1∆t
где ∆t=tk-tk-1 - шаг дискретизации по времени.
Для перехода к разностному уравнению используем z-преобразование дискретных сигналов:
Zxk=k=0∞xkz-k=xz
Zyk=k=0∞ykz-k=yz
При этом умножение сигнала на z-n в пространстве z-преобразования соответствует запаздыванию сигнала во временной области на n шагов:
xk-n z-nxz
yk-n z-nyz
Для разностей первого порядка z-преобразование имеет вид:
Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Таким образом, для производных первого порядка во временной области в пространстве z-преобразования ставится в соответствие следующее выражение:
dxtdt Zxk-xk-1∆t=1-z-1∆txz
dytdt Zyk-yk-1∆t=1-z-1∆tyz
Таким образом, исходному дифференциальному уравнению соответствует следующее уравнение в пространстве z-преобразования:
T21-z-1∆txz+xz=K1K2T11-z-1∆tyz+K1K2yz
Группируя слагаемые с одинаковыми степенями z, получаем:
T2∆t+1xz-T2∆tz-1xz=K1K2T1∆t+K1K2yz-K1K2T1∆tz-1yz
Выполняя обратное z-преобразование, получаем разностное уравнение:
T2∆t+1xk-T2∆txk-1=K1K2T1∆t+K1K2yk-K1K2T1∆tyk-1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
