Задан комплексный потенциал потока Wz=V∞r02z+Γ2πilnz

Определение потенциала скорости и функции тока.
Заданное течение представляет собой суперпозицию (наложение) диполя с моментом M=2πV∞r02, имеющего комплексный потенциал
Wz=V∞r02z
и плоского вихря с комплексным потенциалом
Wz=Γ2πilnz .
Данный случай представляет собой частный случай классической задачи Н.Е. Жуковского о циркуляционном обтекании кругового цилиндра радиуса r0, когда отсутствует набегающий на него плоскопараллельный поток.
Комплексный потенциал течения включает в себя потенциал скорости Φ и функцию линий тока Ψ:
Wz=Φ+iΨ, (1)
здесь комплексная переменная z в декартовой системе координат (переменные x и y) выражается как
z=x+iy ,
и в полярной системе координат (переменные r и θ):
z=reiθ ,
где i- мнимая единица:
i=2-1 .
Между координатами двух систем существуют формулы пересчета:
r=x2+y2 , θ=arctanyx .
x=r∙cosθ, y=r∙sinθ .
Чтобы найти уравнение семейства линий тока Ψ=const и уравнение семейства эквипотенциальных линий Φ=const отделим в комплексном потенциале W мнимую часть от действительной. Действительная часть отвечает за эквипотенциальные линии, мнимая — за линии тока.
Wz=V∞r02z+Γ2πilnz=V∞r02x+iy+Γi2πi2lnreiθ=
=V∞r02x-iyx+iyx-iy-Γi2πlnreiθ=
=V∞∙r02x-iyx2+y2-Γi2πlnr+lneiθ=
=V∞∙r02x-iyr2-Γi2πlnr+iθ=
=V∞∙r02x-iyr2-Γi2πlnr-Γi22πθ=
=V∞∙r02x-iyr2-Γi2πlnr+Γ2πθ=;
В полученном выражении отделим действительную часть от мнимой:
Wz=V∞r02r2∙x+Γ2π∙θ+i∙-V∞r02r2∙y-Γ2π∙lnr . (2)
Сопоставляя выражение (2) с выражением (1), запишем уравнение для эквипотенциальных линий
Φ=V∞r02r2∙x+Γ2π∙θ;
Φ=V∞r02r∙cosθ+Γ2π∙θ, (3)
и для линий тока
Ψ=-V∞r02r2∙y-Γ2π∙lnr;
Ψ=-V∞r02r∙sinθ-Γ2π∙lnr . (4)
Радиальная и тангенциальная составляющие скорости v в любой точке потока будут
vr=∂Φ∂r=∂∂rV∞r02r∙cosθ+Γ2π∙θ=-V∞r02r2∙cosθ ; (5)
vθ=1r∂Φ∂θ=1r∂∂θV∞r02r∙cosθ+Γ2π∙θ;
vθ=-V∞r02r2∙sinθ+Γ2πr . (6)
На поверхности цилиндра при r=r0 проекции скоростей имеют максимальные значения.
vr=-V∞∙cosθ ;
vθ=-V∞∙sinθ+Γ2πr0 .
Модуль скорости потока
v=vr2+vθ2=V∞2-Γ∙V∞∙sinθπr0+Γ2πr02 . (7)
Построение распределения линий равного потенциала и линий тока на плоскости в приложении Excel
Более естественным для уравнений эквипотенциальных линий и линий тока является представление в полярной системе координат. Связано это с центрально симметричным характером течений. Однако приложение Excel ориентировано на декартову систему координат. Поэтому на первом этапе получим аналитическое решение в полярной системе координат,
r=rθ; Φ=const или θ=θr; Φ=const
r=rθ; Ψ=const или θ=θr; Ψ=const;
по которому рассчитаем дискретный набор точек для каждой линии, а затем пересчитаем координаты из полярной в декартову систему координат по формулам
x=r∙cosθ; y=r∙sinθ .
Для построения эквипотенциальных линий Φ=const за основу возьмем уравнение (3)
Φ=V∞∙r02r∙cosθ+Γ2π∙θ=const,
из которого радиус-вектор выразим через полярный угол θ и величину потенциала, значение Φ, значение которого зададим для нескольких значений:
r=rθ; Φ=const , 0≤θ≤180°.
V∞r02r∙cosθ=Φ-Γ2π∙θ
r=V∞r02∙cosθΦ-Γ2π∙θ . (8)
В интервале углов 0≤θ≤2π величина потенциала расчетного течения меняется в пределах
Φmin=-14,8251, θ=188,6275°=3,292171 рад;
Φmax=10, θ=0 .
Вид изопотенциальных линий расчетного течения представлен на рис