Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:
Виды сырья Виды продукции Запасы
сырья
I II
А 5 2 35
В 1 1 10
С 2 3 27
прибыль 4 6
план (ед.)
Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее единиц обоих видов продукции.
В условиях задачи 1 составить оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс – методом)
Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .
Ответ
чтобы получить максимальную прибыль в размере 54 ден ед необходимо производить 3 ед изделия вида 1 и 7 единиц изделий вида 2 или первого вида изделий не производить, только производить изделия второго вида в размере 9 единиц.
Решение
Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество изделий вида I, ед, х2 - количество изделий вида II, ед запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (5 х1 +2х2) единиц ресурса А, (х1 +х2) единиц ресурса В, (2х1 +3х2) единиц ресурса С. Так как, потребление ресурсов А, В,С не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
5x1+2х2≤35x1+х2≤102x1+3x2≤27
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль составит 4х1 от реализации продукции I и 6х 2 от реализации продукции II, то есть : F = 4х1 +6х 2. →max.
Решим задачу симплекс методом
переход к канонической форме 5x1+2x2+x3 = 35 x1+x2+x4 = 10 2x1+3x2+x5 = 27
х1 ≥ 0, х2 ≥0. F = 4х1 +6х 2. →max.Базисные переменные : x3, x4, x5 первый опорный план: X0 = (0,0,35,10,27)
Базис план x1 x2 x3 x4 x5 b/aij
x3 35 5 2 1 0 0 35/2
x4 10 1 1 0 1 0 10
x5 27 2 3 0 0 1 9
F(X1) 0 -4 -6 0 0 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные оценки. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наименьшая оценка и третью строку так как наименьшее отношение свободного члена к коэффциентам столбца равно 9.Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x3 17 11/3 0 1 0 -2/3
x4 1 1/3 0 0 1 -1/3
x2 9 2/3 1 0 0 1/3
F(X1) 54 0 0 0 0 2
Среди значений индексной строки нет отрицательных
. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Оптимальный план можно записать так: x1 = 0, x2 = 9 F(X) = 4*0 + 6*9 = 54
Однако коэффициент при свободной переменной x1 обратился в ноль ,и если мы ее будем изменять, то функция цели не изменится, а решение будет другим, т.е. получим еще одно оптимальное решение, которое будет называться альтернативным. Для его нахождения введем в базис переменную x1 выбрав в качестве направляющего соответствующий столбец.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 b/aij
x3 17 11/3 0 1 0 -2/3 51/11
x4 1 1/3 0 0 1 -1/3 3
x2 9 2/3 1 0 0 1/3 27/2
F(X1) 54 0 0 0 0 2
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x3 6 0 0 1 -11 3
X1 3 1 0 0 3 -1
x2 7 0 1 0 -2 1
F(X1) 54 0 0 0 0 2
Среди значений индексной строки нет отрицательных
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
