Y'-yx=4х y(1)=1 1 2 h=0 1

1) Данное уравнение является линейным. Его решение найдем методом произведения. Пусть y=uv, тогда y'=u'v+uv'.
Подставив в уравнение получим
u'v+uv'-uvx=4x или u'v+u(v'-vx)=4x
Пусть v'-vx=0, то есть dvv=dxx; v=x – одно из решений.
Тогда u'x=4x или u'=4. Отсюда u=4x+C, следовательно, y=x4x+C.
Так как по условию y1=1, то 1=4+C, C=-3.
Решением задачи Коши является y=x4x-3.
y2=2(8-3)=10
2) Для нахождения приближенного решения уравнения y'=f(x;y) на отрезке a;b
разобьем отрезок на десять равных частей шагом h=b-an=0,1.
На каждом из полученных частичных отрезков xk;xk+1, k=0,1,…,9, график интегральной кривой заменяем графиком касательной, проведенной через точку xk . За приближенное значение решения в точке xk+1 принимаем значение ординаты графика касательной.
Итерационная формула процесса имеет вид:
yk+1=yk+h*yk', где yk'=f(xk;yk), таким образом, yk+1=yk+h*f(xk;yk).
В нашей задаче y'=8x-3, fx;y=8x-3, h=b-an=2-110=0,1.
Следовательно, имеем итерационную формулу
yk+1=yk+0,1*8xk-3
Начальное условие y1=1