X – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости

Построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения
Случайная величина X – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Вычислим вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли
Pnk=Cnkpkqn-k
n=4 – число бросков.
p=16 – вероятность выпадения шестерки при одном броске.
q=1-p=1-16=56 – вероятность не выпадения шестерки при одном броске.
PX=0=C40∙160∙564=4!0!4!∙6251296=6251296≈0,4823
PX=1=C41∙161∙563=4!1!3!∙1251296=4∙1251296=125324≈0,3858
PX=2=C42∙162∙562=4!2!2!∙251296=6∙251296=25216≈0,1157
PX=3=C43∙163∙561=4!3!1!∙51296=4∙51296=5324≈0,0154
PX=4=C44∙164∙560=4!4!0!∙11296=11296≈0,0008
Ряд распределения имеет вид
xi
0 1 2 3 4
pi
6251296
125324
25216
5324
11296
Найдем функцию распределения Fx=PX<x=xi<xpi, где суммирование ведется по всем значениям i, для которых xi<x.
Если x≤0, то Fx=X<0=0.
Если 0<x≤1 , то Fx=X<1=6251296≈0,4823.
Если 1<x≤2 , то Fx=X<2=6251296+125324=625+5001296=11251296≈0,8681.
Если 2<x≤3 , то Fx=X<3=6251296+125324+25216=625+500+1501296=12751296≈0,9838.
Если 3<x≤4 , то Fx=X<4=6251296+125324+25216+5324=625+500+150+201296=12951296≈0,9992.
Если x>4 , то Fx=1.
Функция распределения имеет вид
Fx=0, если x≤06251296, если 0<x≤111251296, если 1<x≤212751296, если 2<x≤312951296, если 4<x≤41, если x>4
найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение
Математическое ожидание
MX=xipi=0∙6251296+1∙125324+2∙25216+3∙5324+4∙11296=500+300+60+41296=8641296=23=≈0,6667
Дисперсия
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙6251296+12∙125324+22∙25216+32∙5324+42∙11296-232=500+600+180+161296-49=1296-5761296=7201296=59≈0,5556
Также математическое ожидание и дисперсию можно найти исходя из того, что случайная величина X распределена по биномиальному закону, тогда
MX=np=4∙16=46=23≈0,6667
DX=npq=4∙16∙56=2036=59≈0,5556
Среднее квадратическое отклонение
σX=DX=59=53≈0,7454
вероятность невыпадения шестерки при четырех подбрасываниях кости.
Событие A – не выпадение шестерки при четырех подбрасываниях кости, то есть шестерка выпала 0 раз.
PA=PX=0=6251296≈0,4823
Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:
fx=0 при x≤2, Ax-2 при 2<x≤3,0 при x>3.