Вычислите объем тела образованного вращением вокруг указанной оси фигуры

Сделаем чертеж:
Поскольку ось Oy является осью вращения, то объём находится по формуле:
V=π*abx2dy
Выразим x через y и найдем пределы интегрирования:
x2=y=>x=±y
Из условия задачи уже имеем: y=0.
Теперь найдем верхний предел:
y=22=4
Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:
V=V1-V2
Где:
V1= π*0422dy= π*044dy=π*4y04=π*4*4-4*0=16π
V2= π*04y2dy= π*04ydy=π*y2204=π*422-022=8π
Тогда получаем:
V=V1-V2=16π-8π=8π