Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

Изобразим схематично тело.
Так как ограничивающие поверхности – цилиндры, перейдем к цилиндрическим координатам.
x=ρcosφy=ρsinφz=zdxdydz=ρdρdφdz⟹x2+y2=16⟹ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=16⟹
ρ2=16⟹ρ∈0;4.
x2=16-z2, z≥0⟹z=16-ρ2cos2φ⟹z∈0;16-ρ2cos2φ.
Проекция на плоскость XOY:
Таким образом, φ∈0;π2.
Объем тела равен:
V=0π2dφ04ρdρ016-ρ2cos2φdz=0π2dφ04ρdρ∙z016-ρ2cos2φ=0π2dφ04ρ∙16-ρ2cos2φ∙dρ=0π2-12cos2φdφ0416-ρ2cos2φ∙d16-ρ2cos2φ=0π2-12cos2φdφ∙16-ρ2cos2φ33/204=0π2-12cos2φdφ∙16-42∙cos2φ33/2-16-02cos2φ33/2=0π2-12cos2φdφ∙1283sin3φ-1283=-6430π2sin3φ-1cos2φdφ=6430π2sin2φcos2φdcosφ+6430π21cos2φdφ=6430π21-cos2φcos2φdcosφ+6430π21cos2φdφ=643∙-1cosφ0π2-643∙cosφ0π2+643∙tgφ0π2=643∙-1cosπ2--1cos0-643∙cosπ2-cos0+643∙tgπ2-tg0=643limx→π2sinx-1cosx+1283=0+1283=1283≈42,667.
Ответ: V=1283≈42,667.