Вычислить S dSr где S — часть поверхности z=xy

Имеем, r — расстояние между точками x, y, xy и 0, 0, xy, т.е. r=x2+y2. Итак
S dSr=S dSx2+y2=D 1+∂z∂x2+∂z∂y2x2+y2dxdy=D 1+y2+x2x2+y2dxdy
Перейдём к полярным координатам ρ, φ.
D 1+y2+x2x2+y2dxdy=D 1+ρ2ρρdρdφ=02πdφ0R1+ρ2dρ=1202πρ1+ρ2+lnρ+1+ρ2 0Rdφ=
=1202πR1+R2+lnR+1+R2dφ=12R1+R2+lnR+1+R2φ 02π=
=πR1+R2+lnR+1+R2