Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx

А) по формуле средних прямоугольников
abfxdx=hi=0n-1fxi+h2+Ef
Сведём вычисления в таблицу:
i xi+h/2 f(xi+h/2)
0 3,8 0,246114
1 4,2 0,225322
2 4,6 0,207581
3 5 0,192308
Сумма 0,871325
abfxdx=0.4∙0.871325≈0.348530
Погрешность можно оценить через максимум второй производной
Ef=f''γ24b-ah2
f'x=1-x2x2+12
gx=f''x=2xx2-3x2+13
Оценим максимум второй производной графически.
Максимальное по модулю значение будет в точке x=3.6
f''3.6≈0.026
Тогда
Ef=0.02624∙1.6∙0.42≈0.00028
б) по формуле трапеций в случае равномерной сетки
abfxdx≈hfx0+fxn2+i=1n-1fxi
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.4):
i xi
fxi
0 3,6 0,257880
1 4 0,235294
2 4,4 0,216110
3 4,8 0,199667
4 5,2 0,185449
abfxdx=0.4∙0.25788+0.1854492+0.235249+0.21611+0.199667≈
≈0.349094
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.2):
i xi
fxi
0 3,6 0,257880
1 3,8 0,246114
2 4 0,235294
3 4,2 0,225322
4 4,4 0,216110
5 4,6 0,207581
6 4,8 0,199667
7 5 0,192308
8 5,2 0,185449
abfxdx≈0.348812
Согласно правилу Рунге погрешность последнего вычисления для метода трапеций, имеющего второй порядок точности:
Δ2n=13I2n-In=130.348812-0.349094≈0.00009
Уточним значение интеграла:
abfxdx=4I2n-In3=0.348718
в) По составной формуле Симпсона в случае равномерной сетки
abfxdx≈h6fx0+2i=1m-1fxi+4i=1mfxi-1+xi2+fxm
Сведём вычисления в таблицу:
i
xi
fxi
xi-1+xi2
fxi-1+xi2
0 3,6 0,257880
1 4 0,235294 3,8 0,246114
2 4,4 0,216110 4,2 0,225322
3 4,8 0,199667 4,6 0,207581
4 5,2 0,185449 5 0,192308
i=1m-1fxi
0,651071 i=1mfxi-1+xi2
0,871325
abfxdx≈0.460.25788+2∙0.651071+4∙0.871325+0.185449=0.348718