Вычислить пределы не используя правила Лопиталя

1)
limx→-∞4x5+6x+814x2-3x-8=-∞∞
Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x в наивысшей степени, то есть на x5:
limx→-∞4x5x5+6xx5+8x514x2x5-3xx5-8x5=limx→-∞4+6x4→+0+8x5→-014x3→-0-3x4→+0-8x5→-0=
=4+0-0-0-0+0=4-0=-∞
При x→-∞ слагаемые с четными степенями будут стремиться к бесконечно малым положительным числам, с нечетными степенями – к бесконечно малым отрицательным числам. Медленнее всего стремится к нулю в знаменателе слагаемое, числитель которого меньше всех, то есть слагаемое 14x3, который имеет нечетную степень и стремится к (-0).
2)
limx→+∞3x4+5x2+83x6+5x+1=∞∞
Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x в наивысшей степени, то есть на x6:
limx→+∞3x4x6+5x2x6+8x63x6x6+5xx6+1x6=limx→+∞3x2→0+5x4→0+8x6→03+5x5→0+1x6→0=0+0+03+0+0=03=0
3)
limx→111-x-21-x2=11-1-21-12=∞-∞
Преобразуем предел:
limx→11-x2-2(1-x)1-x1-x2=limx→1-x2+2x-11-x1-x2=-limx→1x2-2x+11-x1-x2=
=-12-2∙1+11-11-12=00
Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители.
Решим уравнение x2-2x+1=0.
Используем формулу квадрата разности:
x2-2x+1=x-12
Используем формулу разности квадратов и разложим на множители знаменатель:
1-x1-x2=1-x1-x1+x=1-x21+x=x-12(1+x)
Получаем предел:
-limx→1x2-2x+11-x1-x2=-limx→1x-12x-12(1+x)=-limx→111+x=-11+1=-12
4)
limx→0tg4x5x=tg(4∙0)5∙0=00
Чтобы раскрыть неопределенность, приведем предел к следствию первого замечательного предела вида
limt→0tgtt=1
Получаем:
limx→0tg4x5∙4x∙4=1∙45=45
5)limx→0x2 ctg 2xsin3x=02 ctg(2∙0)sin3∙0=00
Чтобы раскрыть неопределенность, приведем предел к следствию первого замечательного предела вида
limt→01tg t=1, limt→01sint=1
Получаем:
limx→0x2 ctg 2xsin3x=Используем тождествоctga=1tga=limx→0x∙x tg 2xsin3x=
=limx→02x 2tg 2x∙limx→03x 3sin3x=12∙1∙13∙1=16
6)
limx→01-cos6x1-cos2x=1-cos(6∙0)1-cos(2∙0)=00
Чтобы раскрыть неопределенность, приведем предел к следствию первого замечательного предела вида
limt→01-costt2/2=1, limt→01sint=1
Получаем:
limx→01-cos6x1-cos2x=Используем формулуcos2a=cos2a-sin2a=limx→01-cos6x1-(cos2x-sin2x)=
=limx→01-cos6x1-cos2x+sin2x=Используем формулуsin2a+cos2a=1=
=limx→01-cos6xsin2x+sin2x=limx→01-cos6x2sin2x=
=12limx→01-cos6x6x2/2∙limx→0x2sin2x∙limx→06x2/2x2=12∙1∙12∙limx→018x2x2=1218=9
7)
limx→∞1+6xx=1∞
Чтобы раскрыть неопределенность, приведем предел ко второму замечательному пределу вида
limt→∞1+1tt=e
Получаем:
limx→∞1+6xx=limx→∞1+1x6x66xx=limx→∞ e6xx=e6
8)
limx→∞2x+52x+1x-1=∞∞=limx→∞2x+1+42x+1x-1=limx→∞1+42x+1x-1=1∞
Чтобы раскрыть неопределенность, приведем предел ко второму замечательному пределу вида
limt→∞1+1tt=e
Получаем:
limx→∞1+42x+1x-1=limx→∞1+12x+142x+1442x+1x-1=limx→∞ e4x-12x+1
=elimx→∞ 4x-12x+1
Решим предел:
limx→∞ 4x-12x+1=limx→∞ 4x-42x+1=∞∞=limx→∞ 4xx-4x2xx+1x=limx→∞ 4-4x→02+1x→0=42=2
В итоге получаем:
limx→∞2x+52x+1x-1=e2