Вычислить определенные интегралы 23x2+1x3-xdx

Воспользуемся сначала методом неопределенных коэффициентов, для этого разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
x2+1x3-x=x2+1x(x2-1)=x2+1x(x-1)(x+1)=Ax+Bx-1+Cx+1
A*x2-1+B*x2+x+Cx2-x=x2+1
Ax2-A+Bx2+Bx+Cx2-Cx=x2+1
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B+C=1B-C=0-A=1
Решив данную систему, получим, что:
A=-1;B=1;C=1
Тогда подынтегральная дробь перепишется так:
x2+1x3-x=-1x+1x-1+1x+1
Тогда получим:
23x2+1x3-xdx=23-1x+1x-1+1x+1dx=-lnx+lnx-1+lnx+1|23=-ln3+ln2+ln4--ln2+ln1+ln3=-ln3+ln2+ln4+ln2-ln3=ln4-2ln3+2ln2