Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A

Найдем координаты векторов:
AB=xB-xA,yB-yA,zB-zA=2-1,3-1,1-(-1)=1,2,2
AC=xC-xA,yC-yA,zC-zA=3-1,2-1,1-(-1)=2,1,2
AD=xD-xA,yD-yA,zD-zA=5-1,9-1,-8-(-1)=4,8,-7
Найдем смешанное произведение векторов:
AB×AC∙AD=12221248-7=1∙1∙-7+2∙8∙2+2∙2∙4-
-4∙1∙2-8∙2∙1-2∙2∙-7=-7+32+16-8-16+28=45
Объем тетраэдра равен одной шестой части объема параллелепипеда, построенного на данных векторах . Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов, то есть
Vпар=45
Vтетр=Vпар6=456=152
Вторая формула нахождения объема тетраэдра:
V=13Sh,
где h - высота, опущенная из вершины D на грань АВС, S – площадь грани, равная половине модуля векторного произведения:
S=12AB×AC
Найдем векторное произведение:
AB×AC=ijk122212=
=-11+1i2212+-11+2j1222+-11+3k1221=
=i2∙2-1∙2-j1∙2-2∙2+k1∙1-2∙2=2i+2j-3k
Найдем модуль векторного произведения:
AB×AC=22+22+-32=17
Площадь грани АВС равна
S=172
Тогда высота равна
h=3VS=3∙152172=452∙217=4517=451717