Вычислить неопределенный интеграл dx5+2sinx+3cosx

Применим универсальную тригонометрическую подстановку
tg x2=t x2=arctg t x=2arctg t dx=2dt1+t2
sinx=2t1+t2 cosx=1-t21+t2
dx5+2sinx+3cosx=2dt1+t25+4t1+t2+3-3t21+t2=2dt1+t25+5t2+4t+3-3t21+t2=
=2dt2t2+4t+8=dtt2+2t+4=dtt2+2t+1+3=dt+1(t+1)2+3=
=13arctgt+13+C=13arctgtg x2+13+C
Выполним проверку дифференцированием:
13arctgtg x2+13+C'=13∙11+tg x2+132∙tg x2+13'=
=13∙33+tg x2+12∙13∙1cos2x2∙x2'=12∙13+tg x2+12∙cos2x2=
=12∙13cos2x2+tg2x2∙cos2x2+2tg x2∙cos2x2+cos2x2=
=12∙13cos2x2+sin2x2+2sinx2∙cosx2+cos2x2=12∙13cos2x2+sinx+1=
=12∙13∙1+cosx2+sinx+1=15+3cosx+2sinx