Вычислить неопределенный интеграл 3x+13x-1(x2+2x+5)dx

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
3x+13x-1x2+2x+5=Ax-1+Bx+Cx2+2x+5=Ax2+2x+5+Bx+Cx-1x-1x2+2x+5=
=x2A+B+x2A-B+C+5A-Cx-1x2+2x+5
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в числителе левой и правой части:
A+B=02A-B+C=35A-C=13
Решим систему по формулам Крамера:
∆=1102-1150-1=1+5+2=8
∆1=0103-11130-1=13+3=16
∆2=100231513-1=-3-13=-16
∆3=1102-135013=-13+15-26=-24
A=∆1∆=168=2 B=∆2∆=-168=-2 C=∆3∆=-248=-3
3x+13x-1x2+2x+5=2x-1+-2x-3x2+2x+5
3x+13x-1x2+2x+5dx=2dxx-1-2x+3x2+2x+5dx=
=2dxx-1-2x+2x2+2x+5dx-dxx2+2x+5=
=2dx-1x-1-dx2+2x+5x2+2x+5-dx+1(x+1)2+22=
=2lnx-1-ln(x2+2x+5)-12arctg x+12+C
Выполним проверку дифференцированием:
2lnx-1-lnx2+2x+5-12arctg x+12+C'=
=2x-1-1x2+2x+5∙x2+2x+5'-12∙11+x+122∙x+12'=
=2x-1-2x+2x2+2x+5-12∙44+(x+1)2∙12=2x-1-2x+2x2+2x+5-1x2+2x+5=
=2x2+2x+5-2x+3∙x-1x-1x2+2x+5=2x2+4x+10-2x2-x+3x-1x2+2x+5=
=3x+13x-1x2+2x+5