Вычислить неопределённый интеграл 2x4-5x2-8x-8x+2(x2-2x)dx

Подынтегральной функцией выступает неправильная дробь. Сначала раскроем скобки в знаменателе дроби, получим:
x+2*x2-2x=x3-2x2+2x2-4x=x3-4x
Теперь, чтобы проинтегрировать данную дробь, поделим в столбик числитель на знаменатель:
Тогда подынтегральная функция перепишется так
2x4-5x2-8x-8x+2(x2-2x)=2x+3x2-8x-8x3-4x
Далее также воспользуемся методом неопределённых коэффициентов, для этого полученную вторую дробь распишем на сумму простейших дробей:
3x2-8x-8x3-4x=3x2-8x-8x(x2-4)=3x2-8x-8x*(x+2)(x-2)=Ax+Bx+2+Cx-2
A*x2-4+Bx2-2x+Cx2+2x=3x2-8x-8
Ax2-4A+Bx2-2Bx+Cx2+2Cx=3x2-8x-8
Приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B+C=3-2B+2C=-8-4A=-8
Решив данную систему, получим, что:
A=2;B=52;C=-32
Тогда:
3x2-8x-8x3-4x=2x+52(x+2)-32(x-2)
Перепишем подынтегральное выражение и вычислим неопределённый интеграл:
2x4-5x2-8x-8x+2(x2-2x)dx=(2x+3x2-8x-8x3-4x )dx=2xdx+2x+52x+2-32x-2dx=2xdx+2dxx+52dxx+2-32dxx-2=x2+2lnx+52lnx+2-32lnx-2+C