Вычислить неопределенные интегралы x2+2x+12(x+2)dx

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
x2+2x+12(x+2)=Ax+1+Bx+12+Cx+2
A*x+1x+2+Bx+2+Cx+12=x2+2
Ax2+3x+2+Bx+2+Cx2+2x+1=x2+2
Ax2+3Ax+2A+Bx+2B+Cx2+2Cx+C=x2+2
Приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+C=13A+B+2C=02A+2B+C=2
Решив данную систему, получим:
A=-5;B=3;C=6
Тогда подынтегральная функция перепишется так:
x2+2x+12(x+2)=Ax+1+Bx+12+Cx+2=-5x+1+3x+12+6x+2
Получаем:
x2+2x+12(x+2)dx=-5x+1+3x+12+6x+2dx=-5dxx+1+3dxx+12+6dxx+2=-5dx+1x+1+3x+1-2dx+1+6dx+2x+2=-5lnx+1-3x+1+6lnx+2+C