Вычислить L xyzdS где L — четверть окружности. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Вычислить L xyzdS где L — четверть окружности

Вычислить L xyzdS где L — четверть окружности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить: L xyzdS, где L — четверть окружности x2+y2+z2=R2; x2+y2=R24; x>0, y>0, z>0.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

L образована пересечением кругового цилиндра и сферы в 1-м квадранте
Найдём параметрические уравнения этой кривой.
Параметрические уравнения сферы
x=Rsinθcosφ,y=Rsinθsinφ,z=Rcosθ.
Параметрические уравнения цилиндра
x=R2cosφ,y=R2sinφ.
Рассматривая эти уравнения совместно, находим θ=π6 . Поэтому
L: x=πR6cosφ,y=πR6sinφ,z=R32, 0<φ<π2.
Тогда
L xyzdS=0π2xφyφzφx'2φ+y'2φ+z'2φdφ.
Находим
x'=-πR6sinφ, x'2=π2R236sin2φ;
y'=-πR6cosφ, y'2=π2R236cos2φ;
z'=0.
L xyzdS=0π2πR6cosφπR6sinφR32π2R236sin2φ+π2R236cos2φdφ=
=π2R33720π2cosφsinφπ2R236sin2φ+cos2φdφ=π2R33720π2cosφsinφπ2R236dφ=
=π2R33720π2cosφsinφπR6dφ=π3R434320π2cosφsinφdφ=π3R434320π2sinφdsinφ=
=π3R43864sin2φ 0π2=π3R43864.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу