Вычислить интегралы:
а) x3-2x3+3xx3dx
б) x2dx1-2x32
в) xdx1+x2
г) cos2x1-sin2xdx
д) xdx4x2-3
е) ecos3xsin3xdx
ж) 2-3x2xdx
з) sinx5dx
и) dxcos23x
к) tg1-xdx
л) 2xdx4x+1
м) xsin3xdx
н) x*arctgxdx
о) x+3x3+10x2+25xdx
п) x5+3x2x2+xdx
р) 1+sinx1+cosx+sinxdx
с) xdx1-3x
т) sinx*sin3xdx
у) cos2xsin3xdx
ф) dxex-9
Решение
А) x3-2x3+3xx3dx=x3x3dx-2dx+3xx3dx=x3dx-2dx+3dxx=25x5-2x+3lnx+C
б) x2dx1-2x32=t=1-2x3dt=-6x2dx=-16dtt2=-16*-1t+C+C=16t+C=161-2x3
в) xdx1+x2=t=1+x2dt=2xdx=12dtt=12*2t+C=t+C=1+x2+C
г) cos2x1-sin2xdx=t=1-sin2xdt=-2cos2xdx=-12dtt=-12lnt+C=-12ln1-sin2x+C
д) xdx4x2-3=t=4x2-3dt=8xdx=18dtt=18lnt+C=18ln4x2-3+C
е) ecos3xsin3xdx=t=cos3xdt=-3sin3xdx=-13etdt=-13et+C=-13ecos3x+C
ж) 2-3x2xdx=t=-3x2dt=-6xdx=-162tdt=-16*2tln2+C=-2t6ln2+C=-2-3x26ln2+C
з) sinx5dx=t=x5dt=15dx=5sintdt=-5cost+C=-5cosx5+C
и) dxcos23x=t=3xdt=3dx=13dtcos2t=13tgt+C=13tg3x+C
к) tg1-xdx=t=1-xdt=-dx=-tgtdt=lncost+C=lncos1-x+C
л) 2xdx4x+1=2xdx22x+1=t=2xdt=2xln2dx=1ln2dtt2+1=1ln2arctgt+C=1ln2arctg2x+C
м) xsin3xdx=uv-vdu=u=xdu=dxdv=sin3xdxv=-13cos3x=-x3cos3x+13cos3xdx=-x3cos3x+13*13sin3x+C=-x3cos3x+19sin3x+C
н) x*arctgxdx=uv-vdu=u=arctgxdu=dx1+x2dv=xdxv=x22=x22arctgx-x22*dx1+x2=x22arctgx-12x2dx1+x2=x22arctgx-121-11+x2dx=x22arctgx-12x+12arctgx+C
о) x+3x3+10x2+25xdx=x+3xx+52dx=*
Рассмотрим теперь интегрирование правильной дроби
. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
x+3xx+52=Ax+Bx+5+Cx+52=Ax+52+Bxx+5+Cxxx+52=Ax2+10Ax+25A+Bx2+5Bx+Cxxx+52
Где А, В и C – неопределенные коэффициенты, так как
x+3xx+52=x2A+B+x10A+5B+C+25Axx+52
То для определения коэффициентов А, В и C получаем систему:
A+B=0,10A+5B+C=1,25A=3.
B=-325,10*325+5*-325+C=1,A=325.
B=-325,35+C=1,A=325.
B=-325,C=1-35,A=325.
B=-325,C=25,A=325.
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
x+3xx+52=325*1x-325*1x+5+25*1x+52
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
*=325*1x-325*1x+5+25*1x+52dx=325dxx-325dxx+5+25dxx+52=325lnx-325lnx+5-25*1x+5+C
п) x5+3x2x2+xdx=xx4+3xxx+1dx=x4+3xx+1dx=x3-x2+x-2x+1+2dx=x44-x33+x22-2lnx+1+2x+C
р) 1+sinx1+cosx+sinxdx=t=tgx2sinx=2t1+t2cosx=1-t21+t2dx=2dt1+t2=1+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2*2dt1+t2=1+t2+2t1+t21+t2+1-t2+2t1+t2*2dt1+t2=1+t2+2t1+t22+2t1+t2*2dt1+t2=1+t2+2t1+t21+t22+2t*2dt1+t2=1+t2+2t1+t*dt1+t2=1+tdt1+t2=dt1+t2+tdt1+t2=arctgt+12lnt2+1+C=arctgtgx2+12lntg2x2+1+C
с) xdx1-3x=t6=xdx=6t5dt=t6*6t5dt1-3t6=t3*6t5dt1-t2=6t8dt1-t2=-6t6-6t4-6t2-3t-1+3t+1-6dt=-6t77-6t55-6t33-3lnt-1+3lnt+1-6t+C
т) sinx*sin3xdx=sinx*sin3x=12cosx-3x-cosx+3x=12cos2x-cos4x=12cos2x-cos4xdx=14sin2x-18sin4x+C
у) cos2xsin3xdx=cos2xsin2x*sinxdx=cos2x1-cos2x*sinxdx=cos2x-cos4x*sinxdx=t=cosxdt=-sinxdx=-t2-t4dt=t4-t2dt=t55-t33+C=cos5x5-cos3x3+C
ф) dxex-9=x=lnt2+9dx=2tdtt2+9=2tdtt2+9elnt2+9-9=2tdtt2+9t2+9-9=2tdtt2+9t=2tdttt2+9=2dtt2+9=23arctgt3+C=23arctgex-93+C
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
