Вычислить с помощью тройного интеграла объема тела

Сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость.
Цилиндрическая поверхность с направляющими x=y2 и x=2y2+1 в плоскости OXY и образующими, параллельными оси z, ограничена снизу плоскостью OXY или z=0, а сверху плоскостью z=1-y2.
Изобразим проекцию тела на плоскость OXY:
Искомое тело ограниченно плоскостью z=0 снизу и параболическим цилиндром z=1-y2 сверху:
Составим порядок обхода тела, при этом «иксовые» и «игрековые» пределы интегрирования, напоминаю, удобнее выяснять по двумерному чертежу:
0≤z≤1-y2
-1≤y≤1
y2≤x≤2y2+1
Таким образом:
V=Tdxdydz=-11dyy22y2+1dx01-y2dz
Проведем вычисление интеграла поэтапно.
1) Найдем интеграл по z
01-y2dz=z01-y2=1-y2-0=1-y2
2) Найдем интеграл по x
y22y2+11-y2dx=y22y2+1dx-y22y2+1y2dx=xy22y2+1-y2xy22y2+1=
=2y2+1-y2-y22y2+1-y2=y2+1-y2y2+1=
=y2+1-y4-y2=1-y4
3) Найдем интеграл по y
-111-y4dy=y-y55-11=1-155--1--155=1-15+1-15=135
В итоге имеем
V=Tdxdydz=-11dyy22y2+1dx01-y2dz=135 ед.3
Ответ: V=135 ед.3