Вычислить неопределенный интеграл x+4x3-3x+2dx

X+4x3-3x+2dx=
Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
x+4x3-3x+2=x+4x+2x-12=Ax+2+Bx-1+Cx-12=Ax-12+Bx+2x-1+Cx+2x+2x-12=Ax2-2Ax+A+Bx2+Bx-2B+Cx+2Cx+2x-12
Где A, B и C – неопределенные коэффициенты, так как
x+4x+2x-12=x2A+B+x-2A+B+C+A-2B+2Cx+2x-12
То для определения коэффициентов A, B и C получаем систему:
A+B=0,-2A+B+C=1,A-2B+2C=4
A=-B,-2*-B+B+C=1,-B-2B+2C=4
A=-B,2B+B+C=1,-3B+2C=4
A=-B,3B+C=1,-3B+2C=4
A=-B,C=1-3B,-3B+2*1-3B=4
A=-B,C=1-3B,-3B+2-6B=4
A=-B,C=1-3B,-9B=2
A=29,C=1-3*-29,B=-29
A=29,C=53,B=-29
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
x+4x+2x-12=29*1x+2-29*1x-1+53*1x-12
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
x+4x+2x-12dx=29*1x+2-29*1x-1+53*1x-12dx=29dxx+2-29dxx-1+53dxx-12=29lnx+2-29lnx-1-53x-1+C