Вычислить криволинейный интеграл lxy2dy-x2ydx

Вычислим интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении.
Контур l состоит из отрезков трех прямых: прямой OA с уравнением y=x; прямой AB с уравнением y=1; прямой BO с уравнением x=0.
По свойству криволинейного интеграла интеграл по контуру l равен сумме интегралов по его частям, поэтому
lxy2dy-x2ydx=
=OAxy2dy-x2ydx+ABxy2dy-x2ydx+BOxy2dy-x2ydx=
=I1+I2+I3.
Вычислим каждый из интегралов.
I2=OAxy2dy-x2ydx=OA: y=x, x от 0 до 1dy=y'dx=dx=
=01x⋅x2dx-x2⋅xdx=01x3-x3dx=010dx=0,
I2=ABxy2dy-x2ydx=AB: y=1, x от 1 до 0dy=y'dx=0dx=
=10x⋅11⋅0dx-x2⋅1dx=-10x2dx=01x2dx=x3301=133-033=13,
I3=BOxy2dy-x2ydx=BO: x=0, y от 1 до 0dx=x'dy=0dy=
=100⋅y2dy-02y⋅0dy=100dy=0.
Таким образом,
lxy2dy-x2ydx=I1+I2+I3=0+13+0=13.
2