Выборка X объемом N 100 измерений задана таблицей:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
mxi
5
13
20+(m+n)
30-(m+n)
19
10
3
где, xi-результаты измерений, mxi-частоты, с которыми встречаются значения xi, i=17mxi=100. Значения xi рассчитываются по формуле
xi=0,2∙m+i-1∙0,3∙n
1. Построить полигон относительных частот Wi=mxiN
2. Вычислить выборочное среднее Xв, выборочную дисперсию Dв(X) и среднее квадратическое отклонение σx.
3. По критерию λ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
Решение
M=3;n=1
x1=0,2∙3+1-1∙0,3∙1=0,6
x2=0,2∙3+2-1∙0,3∙1=0,9
x3=0,2∙3+3-1∙0,3∙1=1,2
x4=0,2∙3+4-1∙0,3∙1=1,5
x5=0,2∙3+5-1∙0,3∙1=1,8
x6=0,2∙3+6-1∙0,3∙1=2,1
x7=0,2∙3+7-1∙0,3∙1=2,4
xi
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
mxi
5
13
24
26
19
10
3
1. Построить полигон относительных частот Wi=mxiN
Вычислим относительные частоты и занесем в таблицу
xi
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
mxi
5
13
24
26
19
10
3
Wi
0,05
0,13
0,24
0,26
0,19
0,1
0,03
Полигон имеет вид
2. Вычислить выборочное среднее Xв, выборочную дисперсию Dв(X) и среднее квадратическое отклонение σx.
Выборочное среднее вычислим по формуле:
Xв=x1mxi+…+xkmxkN
xi
mxi
xi∙mxi
0,6
5 3
0,9 13 11,7
1,2 24 28,8
1,5 26 39
1,8 19 34,2
2,1 10 21
2,4 3 7,2
Сумма 100 144,9
Xв=144,9100=1,449
Выборочную дисперсию вычислим по формуле:
Dв(X) =i=1kmxixi-Xв2N
xi
mxi
xi-Xв
xi-Xв2
mxixi-Xв2
0,6
5 -0,849 0,7208 3,6040
0,9 13 -0,549 0,3014 3,9182
1,2 24 -0,249 0,0620 1,4880
1,5 26 0,051 0,0026 0,0676
1,8 19 0,351 0,1232 2,3408
2,1 10 0,651 0,4238 4,2380
2,4 3 0,951 0,9044 2,7132
Сумма 100
18,3699
Dв(X) =18,3699100≈0,184;
Среднее квадратическое отклонение
σx=Dв(X)
σx=0,184 ≈0,429
3
. По критерию λ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
Выдвинем гипотезу H0: генеральная совокупность имеет нормальное распределение с параметрами a=1,449;σ=0,429
Рассчитываем теоретические частоты ni' по формуле
ni'=N∙hσx∙φxi-Xвσx
ni'=100∙0,30,429∙φxi-1,4490,429= 69,93∙φxi-1,4490,429
xi
mxi
xi-1,4490,429
φxi-1,4490,429
ni'
0,6
5 -1,98 0,0562 3,93
0,9 13 -1,28 0,1758 12,29
1,2 24 -0,58 0,332 23,22
1,5 26 0,12 0,3961 27,70
1,8 19 0,82 0,285 19,93
2,1 10 1,52 0,1257 8,79
2,4 3 2,22 0,0339 2,37
Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле
χнабл2=i=1Smxi-ni'2ni'
xi
mxi
ni'
mxi-ni'2
mxi-ni'2ni'
0,6
5 3,93 1,1448 0,291
0,9 13 12,29 0,4989 0,041
1,2 24 23,22 0,6135 0,026
1,5 26 27,70 2,8875 0,104
1,8 19 19,93 0,8650 0,043
2,1 10 8,79 1,4636 0,167
2,4 3 2,37 0,3961 0,167
χнабл2
0,84
По таблице критических значений χкр2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k =l-3 = 7 – 3 =4 найдем χкр2≈9,49.
Так как χнабл2=0,84<χкр2=9,49 нулевую гипотезу можно принять при данном уровне значимости.
Ответ: Xв=1,449; DвX≈0,184;σx≈0,429
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
