Воспользуемся методом интегрирования по частям

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+2k+1=0
k+12=0
k1,2=-1
Так как получились одинаковые действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-x+C2xe-x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ae2x+Bx+C
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=2Ae2x+B
y''=4Ae2x
Подставляем в уравнение:
4Ae2x+4Ae2x+2B+Ae2x+Bx+C=9e2x+x
9Ae2x+2B+Bx+C=9e2x+x
Приравнивая коэффициенты между соответствующими выражениями, получаем систему уравнений:
9A=9B=12B+C=0→A=1B=1C=-2
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=e2x+x-2
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-x+C2xe-x+e2x+x-2