Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения

Потери на сопротивление трения были наименьшими – это значит, что сумма нижнего основания и боковых сторон трапеции должна быть наименьшей.
Сделаем схематический чертеж.
2063115363855408622536795843628903713187a
00a
15132053713627а
00а
Для начала нам необходимо определить периметр трех сторон.
P=AB+BC+CD=2AB+BC
По условия задачи имеем заданную глубину h и заданную площадь S . Искомый угол – угол α.
Выразим остальные стороны через h и S
Пусть сторона ВС = х.
Площадь трапеции определяем по формуле.
S=BC+AD2×h
AD=2a+BC
Выразим a через ctgα
ctgα=ah =>a=h ctgα
Получим:
AD=2h ctgα+x
S=x+2h ctgα+x2×h=2x+2h ctgα2×h=h(x+h ctgα)
Выразим BC = x.
x+h ctgα=Sh
x=Sh-h ctgα
Выразим AB через sinα
sinα=hAB =>AB=hsinα
Подставим полученные значения в формулу периметра.
P=2AB+BC=2hsinα+Sh-h ctgα
При постоянных значениях S и h находим производную по α из P
P'=2hsinα+Sh-h ctgα'=2hsinα'+Sh'-h ctgα'=
=-2hsin2αcosα+0+hsin2α=hsin2α(1-2cosα)
Приравняем производную к 0 и найдем корни.
hsin2α1-2cosα=0
1-2cosα=0
2cosα=1
cosα=12
α=60°
ОТВЕТ: при движении воды по каналу потери на сопротивление трения наименьшие в том случае, когда угол наклона ее боковых сторон равен α=60°.