Внутрь окружности ρ≤3sinφ случайным образом бросается точка

Найдем точки пересечения окружности и кардиоиды:
3sinφ=1-cosφ
3sin2φ=1-2cosφ+cos2φ
31-cos2φ=1-2cosφ+cos2φ
2cos2φ-cosφ-1=0
cosφ=1±94
cosφ=±12
φ1=π3;φ2=2π3
Находим площадь фигуры, заключенной между кардиоидой и окружностью:
SD=12π32π33sinφ2-1-cosφ2dφ=
=12π32π33sin2φ-1+2cosφ-cos2φdφ=-π32π3cosφ+cos2φdφ
=-sinφ+sin2φ2π32π3=32
А поскольку площадь круга равна:
S=πR2=π322=3π4
То вероятность того, что эта точка окажется внутри кардиоиды равна:
PA=SDS=323π4=233π≈0,3676