Векторы и операции над ними. Бесплатный доступ к контрольной работе

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Точки А, В, С пространства заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат. Найти: векторы a=AB, b=AC, c=BC; скалярное произведение a∙b; векторное произведение a×b и его модуль; величины углов, длины сторон и площадь треугольника АВС; смешанное произведение abc ; уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. 8.3. A1,3,1;B2,4,2;C2,5,3

Ответ

1) a=1;1;1; b=1;2;2; с=0;1;1; 2) a∙b=5; 3) d=a×b=0;-1;1; d=2≈1.414 4) AB=3≈1.732; AC=3; BC=2≈1.414;∠A≈15.79°; ∠B≈35.26°; ∠C≈19.47°; S=22≈0.707 5) a∙b×c=0; 6) -y+z+2=0

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

1) векторы a=AB, b=AC, c=BC;
a=AB=xB-xAi+yB-yAj+zB-zAk=2-1i+4-3j+2-1k=i+j+k=1;1;1
b=AC=xC-xAi+yC-yAj+zC-zAk=2-1i+5-3j+3-1k=i+2j+2k=1;2;2
с=BC=xC-xBi+yC-yBj+zC-zBk=2-2i+5-4j+3-2k=j+k=0;1;1
2) скалярное произведение a∙b;
a∙b=ax*bx+ay*by+az*bz=1*1+1*2+1*2=5
3) векторное произведение a×b и его модуль;
d=a×b=ijkaxayazbxbybz=ijk111122=i1122-j1112+k1112=-j+k=0;-1;1
d=dx2+dy2+dz2=02+-12+12=2≈1.414
4) величины углов, длины сторон и площадь треугольника АВС;
AB=AB=a=ax2+ay2+az2=12+12+12=3≈1.732
AC=AC=b=bx2+by2+bz2=12+22+22=9=3
BC=BC=c=cx2+cy2+cz2=02+12+12=2≈1.414
a∙b=5
a∙c=ax*cx+ay*cy+az*cz=1*0+1*1+1*1=2
b∙c=bx*cx+by*cy+bz*cz=1*0+2*1+2*1=4
∠A=AB,AC=a,b=φA=arccosa∙bab=arccos53*3≈arccos0.962≈0.276≈15.79°
∠B=AB,BC=a,c=φB=arccosa∙cac=arccos232≈arccos0.817≈0.616≈35.26°
∠C=AC,BC=b,c=φC=arccosb∙cbc=arccos432≈arccos0.943≈0.34≈19.47°
S=12AB×AC=12a×b=12d=22≈0.707
5) смешанное произведение abc ;
a∙b×c=axayazbxbybzcxbybz=111122011=1*2211-1*1201+11201=0
6) уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0;
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=x-1y-3z-1111122=x-11122-y-31112+z-11112=-y+z+2;
-y+z+2=0
Ответ: 1) a=1;1;1; b=1;2;2; с=0;1;1; 2) a∙b=5;
3) d=a×b=0;-1;1; d=2≈1.414
4) AB=3≈1.732; AC=3; BC=2≈1.414;∠A≈15.79°; ∠B≈35.26°; ∠C≈19.47°; S=22≈0.707
5) a∙b×c=0; 6) -y+z+2=0

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу