Векторы e1 e2 … en и x заданы своими координатами в некотором базисе

Составим определитель ∆ из координат векторов e1, e2, e3 и вычислим его по правилу треугольника:
∆=111112123=1∙1∙3+1∙2∙1+1∙2∙1-1∙1∙1+1∙1∙3+2∙2∙1=
=3+2+2-1+3+4=7-8=-1
Так как ∆=-1≠0, то векторы e1, e2, e3 образуют базис.
Найдем координаты вектора x относительно базиса e1, e2, e3, т.е. числовые коэффициенты α1, α2, α3 разложения
x=α1e1+α2e2+α3e3
или
6914=α1∙111+α2∙112+α3∙123
В силу определения равенства векторов и определения операций сложения векторов и умножения вектора на число, когда известны координаты векторов относительно некоторого базиса, последнее векторное равенство можно записать в виде системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
α1+α2+α3=6α1+α2+2α3=9α1+2α2+3α3=14
Решим эту систему по формулам Крамера:
∆1=6119121423=-1; ∆2=1611921143=-2; ∆3=1161191214=-3.
Теперь находим α1, α2, α3:
α1=∆1∆=-1-1=1; α2=∆2∆=-2-1=2; α3=∆3∆=-3-1=3
Следовательно, координаты вектора x в базисе e1, e2, e3 равны 1;2;3.
б) Дано e1=2, 1, -3, e2=3, 2, -5 e3=1, -1, 1 и x=6, 2, -7
Составим определитель ∆ из координат векторов e1, e2, e3 и вычислим его по правилу треугольника:
∆=21-332-51-11=2∙2∙1-5∙1∙1+-3∙3∙-1-1∙2∙-3-1∙-5∙2+3∙1∙1=
=4-5+9--6+10+3=1
Так как ∆=1≠0, то векторы e1, e2, e3 образуют базис.
Найдем координаты вектора x относительно базиса e1, e2, e3, т.е