Векторная алгебра. Даны координаты вершин пирамиды A1

1) Длина ребра A1A2:
В координатной форме вектор можно задать следующим образом:
a=ax,ay,az=axi+ayj+azk, где i,j,k-орты осей координат.
Чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вычесть координаты начала:
A1A2=xA2-xA1,yA2-yA1,zA2-zA1=4-3,5--1,-2-3=
=1,6,-5
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов всех его координат:
A1A2=12+62+-52=1+36+25=62
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4:
Найдем координаты второго вектора:
A1A4=xA4-xA1,yA4-yA1,zA4-zA1=2-3,3--1,5-3=
=-1,4,2
Найдем длину вектора:
A1A4=(-1)2+42+22=1+16+4=21
Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений одноименных координат
A1A2∙A1A4=1∙-1+6∙4+-5∙2=-1+24-10=13
Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение их длин:
cosφ=A1A2∙A1A4A1A2A1A4=136221=1313021302≈0.36
Тогда угол между ребрами равен
φ=arccos1313021302≈68,9o
3) Уравнение плоскости A1A2 A3
Если заданы координаты трех точек, лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
x-xA1y-yA1z-zA1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0
Имеем:
x-3y-(-1)z-34-35-(-1)-2-32-37-(-1)1-3=0
x-3y+1z-316-5-18-2=0
Разложим определитель по первой строке:
-11+1x-36-58-2+-11+2y+11-5-1-2+
+-11+3z-316-18=0
x-36∙-2-8∙(-5)-y+11∙-2-( -1)∙(-5)+
+z-31∙8-6∙(-1)=0
28x-3+7y+1+14z-3=0
28x-84+7y+7+14z-42=0
Уравнение плоскости имеет вид A1A2 A3
28x+7y+14z-119=0
Поделим на 7:
4x+y+2z-17=0
4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A4 на грань A1A2A3
Уравнение плоскости A1A2A3:
4x+y+2z-17=0
Нормальный вектор данной плоскости:
n=4,1,2
Тогда вектор с координатами 4,1,2 будет перпендикулярен плоскости, а, следовательно, параллелен искомой высоте