Вариационный ряд
- по данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды;
- построить гистограмму и полигон относительных частот;
- рассчитать несмещенные оценки мат.ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
- вычислить асимметрию и эксцесс;
- рассчитать интервальные оценки мат.ожидания и дисперсии;
- проверить гипотезы о нормальном и показательном распределении генеральной совокупности.
29 50 33 19 49
32 54 36 20 51
36 61 43 21 53
37 17 49 25 18
40 18 50 26 20
42 18 54 30 22
43 19 61 37 23
48 19 17 37 24
31 21 18 41 25
32 23 18 47 26
Решение
Сгруппируем данные в вариационный интервальный ряд. Для этого найдем максимальную и минимальную варианту выборки: xmin=17, xmax=61 и определим размах варьирования:
R =xmax-xmin=61-17=44
Для построения интервального ряда определим интервальный шаг выборки, воспользовавшись формулой Стерджеса:
h=xmax-xmin1+3.322lgn
где n – объём выборки (в нашем случае 35)
h=441+3.322lg50=6,62≈7
За начало первого интервала примем x1=xmin=17. В результате получим интервальный ряд.
Таким образом, получаем следующие интервалы: [17; 24], (24; 31], (31; 38], (38; 45], (45; 52], (52; 61].
Подсчитаем по исходной таблице число вариант, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему интервалу.
Интервальный ряд распределения запишем в виде таблицы:
Частичный интервал, xi-xi+1
Середина интервала, xi
Частоты, ni
Относительные частоты wi=nin
Накопленные относительные частоты
17 – 24 20,5 17 0,34 0,34
24 – 31 27,5 7 0,14 0,48
31 – 38 34,5 9 0,18 0,66
38 – 45 41,5 5 0,1 0,76
45 – 52 48,5 7 0,14 0,9
52 – 61 56,5 5 0,1 1
∑
50 1
Построим гистограмму и полигон относительных частот
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников
. Их основаниями служат частичные интервалы, а высоты равны относительным частотам. Ее график изображен на рис.1.
По полученной таблице может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках xi;wi:
Найдем основные числовые характеристики вариационного ряда. Для вычисления основных характеристик составим расчетную таблицу:
Середина интервала, xi
Частота,ni
xini
xi2ni
xi-x3*ni
xi-x4*ni
20,5 17 348,5 7144,3 -38392,8566 503714,278
27,5 7 192,5 5293,8 -1604,5465 9819,82456
34,5 9 310,5 10712 6,133248 5,39725824
41,5 5 207,5 8611,3 2446,51936 19278,5726
48,5 7 339,5 16466 23062,5239 343170,356
56,5 5 282,5 15961 59887,75936 1370231,93
∑ 50 1681 64189 45405,5328 2246220,36
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
– выборочное среднее xB
xB=1ni=1kxini=168150=33.62
– выборочную дисперсию DB
DB=x2-x2=6418950-33.622=153.4756
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»
s2=nn-1*DB=5050-1*153.4756≈156.608
Определим коэффициент асимметрии, которая характеризует асимметрию полигона вариационного ряда
As=1nxi-x3*niσ3=45405.532850*153.47563=0.48
Вычислим эксцесс, показывающий степень «крутости» выборочного распределения относительно нормального распределения:
Ex=1nxi-x4*niσ4-3=2246220.3650*153.47564-3=-1.09
Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найдем теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Найдем теоретические частоты ni'=n*Pi, где Pi=Pxi<X<xi+1 - вероятность того, что случайная величина попадет в интервал .
Так как предполагаемый закон распределения нормальный, то
Pi=Фk2-Фk1=Фxi+1-xBσB-Фxi-xBσB
где Ф(x) – функция Лапласа (приложение функции Лапласа)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
