В таблице приведены данные по двум экономическим показателям

1. Построим поле корреляции (рис. 1).
Рис. 1.
Можно предположить, что зависимость между расходами и доходом имеет линейный характер.
2. Найдем параметры парной линейной регрессии y = a + bx методом наименьших квадратов, для этого решим систему (опуская индексы):
n×a+x×b=yx×a+x2×b=x×y (1)
Расчеты проведем в табл. 1.
Таблица 1
i
xi yi
xi2 xi×yi
yi2
1 18,26 11,92 333,4276 217,6592 142,0864
2 21,9 8,34 479,61 182,646 69,5556
3 12,12 7,08 146,8944 85,8096 50,1264
4 17,52 10,52 306,9504 184,3104 110,6704
5 26,28 18,68 690,6384 490,9104 348,9424
6 11,86 8,24 140,6596 97,7264 67,8976
7 15,08 10,5 227,4064 158,34 110,25
8 10,56 7,34 111,5136 77,5104 53,8756
9 10,4 7,28 108,16 75,712 52,9984
10 10,78 6,72 116,2084 72,4416 45,1584
11 10,8 8,18 116,64 88,344 66,9124
12 13,64 9,04 186,0496 123,3056 81,7216
13 10,74 7,34 115,3476 78,8316 53,8756
14 11,78 6,56 138,7684 77,2768 43,0336
15 12,52 9,2 156,7504 115,184 84,64
16 10,42 7,6 108,5764 79,192 57,76
17 12,52 8,78 156,7504 109,9256 77,0884
18 10,42 6,88 108,5764 71,6896 47,3344
19 13,16 8,02 173,1856 105,5432 64,3204
20 14,92 10,28 222,6064 153,3776 105,6784
Сумма 275,68 178,5 4144,72 2645,736 1733,926

Получим систему уравнений
20a+275,68=178,5275,68a+4144,72b=2645,736.
Найдем решение системы a и b.
Оценки параметров уравнения регрессии:
a=1,516478b=0,53747.
Таким образом, регрессионная модель имеет вид:
y=1,516478+0,53747x.
Коэффициент регрессии b = 0,53747, значит связь прямая и положительная.
Экономический смысл коэффициента регрессии: при увеличении доходов на 0,54 расходы увеличатся на единицу.
Найдем коэффициент корреляции по формуле
rxy=bσxσy, (2)
где σx=Dx=x2-x2=1nx2-(1nx)2=1204144,72-(120275,68)2=4,15.
σy=Dy=y2-y2=1ny2-(1ny)2=
=1201733,93-120178,52=
=2,65.
rxy=0,84.
Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее линейная корреляционная связь. Полученное значение свидетельствует, что линейная связь сильная.
Коэффициент детерминации показывает долю изменения результирующего показателя под действием факторного признака и может быть найден по формуле
R2= rxy2. (3)
Так как R2=0,842=0,71, то фактором «доходы» можно объяснить 71 % изменения расходов.
Найдем коэффициент эластичности:
Эy=bxy, (4)
который показывает, на сколько процентов изменяется результирующий показатель при изменении факторного признака на один процент.
Для рассматриваемой модели получим: Эy=0,54 13,7848,925=0,83, значит, при увеличении доходов на 1 % расходы увеличиться на 0,83 %.
Оценим значимость параметров регрессии.
Проверим гипотезу «H0: b=0» против гипотезы «H1: b≠0» при заданном уровне значимости 𝛼=0,05. При проверке используется распределение Стьюдента. Для этого рассчитаем значение t-критерия для исходных данных по формуле
tb=bSb, (5)
где Sb=Sостσxn=1n-2(y-y)2σxn – стандартная ошибка коэффициента регрессии.
Для проведения расчетов дисперсий используем табл. 2.
Таблица 2
i
xi yi
yi
yi-yi
(yi-yi)2
yi-yiyi
1 18,26 11,92 11,33072733 0,589272668 0,347242277 0,049435626
2 21,9 8,34 13,28712758 -4,947127576 24,47407125 0,593180765
3 12,12 7,08 8,030645603 -0,950645603 0,903727062 0,134271978
4 17,52 10,52 10,93299761 -0,412997613 0,170567028 0,039258328
5 26,28 18,68 15,64125754 3,038742461 9,233955742 0,162673579
6 11,86 8,24 7,890902728 0,349097272 0,121868905 0,042366174
7 15,08 10,5 9,621564482 0,878435518 0,771648959 0,083660525
8 10,56 7,34 7,192188356 0,147811644 0,021848282 0,020137826
9 10,4 7,28 7,106192741 0,173807259 0,030208963 0,023874624
10 10,78 6,72 7,310432326 -0,590432326 0,348610332 0,087861953
11 10,8 8,18 7,321181778 0,858818222 0,737568738 0,104990003
12 13,64 9,04 8,847603946 0,192396054 0,037016241 0,021282749
13 10,74 7,34 7,288933423 0,051066577 0,002607795 0,006957299
14 11,78 6,56 7,847904921 -1,287904921 1,658699085 0,19632697
15 12,52 9,2 8,245634641 0,954365359 0,910813239 0,103735365
16 10,42 7,6 7,116942192 0,483057808 0,233344845 0,063560238
17 12,52 8,78 8,245634641 0,534365359 0,285546337 0,060861658
18 10,42 6,88 7,116942192 -0,236942192 0,056141603 0,034439272
19 13,16 8,02 8,589617101 -0,569617101 0,324463642 0,071024576
20 14,92 10,28 9,535568867 0,744431133 0,554177711 0,07241548
сумма 275,68 178,5 178,5 0,00 41,22412804 1,00013E-15
Тогда, Sb=0,082, tb=6,29.
Сравним найденное значение с табличным с (n – 2) степенями свободы при заданном уровне значимости 𝛼. Используем функцию Excel «СТЬЮДРАСПОБР», 𝑡табл=2,1 . Так как расчетное значение критерия больше табличного 𝑡𝑏=6,29 > 𝑡табл=2,1, то гипотеза «H0: b = 0» отклоняется и принимается гипотеза «H1: b ≠ 0», делаем вывод о значимости коэффициента регрессии в модели.
Так как 𝑡𝑏=𝑡𝑟𝑥𝑦, то можно сделать вывод о высокой значимости коэффициента корреляции 𝑟𝑥𝑦.
Аналогично проверим значимость параметра регрессии а:
ta=aSa, (6)
где Sa=Sостx2σxn – стандартная ошибка параметра регрессии a.
Получим Sa = 1,17, 𝑡𝑎=0,781<𝑡табл=2,1, что говорит о низкой значимости параметра a в модели.
Проверку значимости модели проведем с использованием F-критерия Фишера, гипотеза «H0: 𝑆факт2 = 𝑆ост2» против гипотезы «H1: 𝑆факт2 > 𝑆ост2».
Расчетное значение критерия может быть найдено по формуле
F=(n-2)R21-R2. (7)
Получим Fрасч=20-20,711-0,71=43,49. Расчетное значение сравним с табличным при уровне значимости 𝛼 и степенях свободы 𝑘1 = 1 и 𝑘2 = 𝑛−2. Используя функцию Excel «FРАСПОБР», получим 𝐹табл = 4,41.
В нашем случае расчетное значение больше табличного 𝐹расч = 43,49 > 𝐹табл = 4,41, поэтому принимаем гипотезу «H1: 𝑆факт2 > 𝑆ост2» и отвергаем гипотезу «H0: 𝑆факт2 = 𝑆ост2», делаем вывод о значимости уравнения регрессии в целом, значит полученная модель адекватно описывает исходные данные.
Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение полученных значений от фактических
A=1ny-yy×100 %. (8)
Допустимая ошибка аппроксимации не должна превышать 10 %. В нашем случае A=9,86 % < 10 %, что свидетельствует о высоком качестве выбранной модели.
Найдем доверительные интервалы для параметров регрессии:
∆a=tтабл×Sa, (9)
∆b=tтабл×Sb. (10)
Для нашего случая ∆a=2,47, ∆b=0,17. Можно сделать вывод, что с вероятностью 𝑝=1−𝛼=0,95 параметры a и b попадают соответственно в интервалы
(𝑎 − ∆a; 𝑎 + ∆a), (11)
(𝑏 − ∆b; 𝑏 + ∆b). (12)
Получим
𝑎 ∈ (–0,9486; 3,9816), 𝑏 ∈ (0,3662; 0,7087).
Так как параметр a не значим в модели, поэтому доверительный интервал содержит значение ноль, и поэтому не может быть использован.
Найдем прогнозное значение прожиточного минимума: 𝑥𝑝 = 𝑥̅ × 1,1= =15,16, тогда прогнозное значение средней зарплаты составит: 𝑦̂𝑝 = 9,67.
Проверим полученные результаты с помощью надстройки Excel «Анализ данных» инструмента «Регрессия» (рис. 2).
Рис. 2
3. Рассчитаем параметры нелинейных регрессий.
а) Построим степенную модель: 𝑦̂ = 𝑎 × xb.
Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования уравнения:
ln (𝑦̂) = ln(𝑎 × xb),
ln(𝑦̂) = ln(𝑎)+b × ln(x) .
Заменим: ln(𝑦̂) = 𝑍, ln(𝑎) = 𝐴, ln(x) = T.
Получим линейное уравнение 𝑍 = 𝐴+b × T, найдем его параметры методом наименьших квадратов (табл. 3).
Таблица 3
i
ti=ln(xi) zi = ln(yi) ti2 ti × zi
1 2,904712875 2,478217662 8,437356887 7,198510749
2 3,086486637 2,121063216 9,526399759 6,546633273
3 2,494856981 1,957273908 6,224311354 4,883118472
4 2,863343086 2,353278207 8,198733625 6,738242883
5 3,268808194 2,927453433 10,68510701 9,569283768
6 2,473171394 2,109000344 6,116576742 5,21591932
7 2,713369363 2,351375257 7,362373298 6,380149583
8 2,357073278 1,993338843 5,555794439 4,698445721
9 2,341805806 1,985130862 5,484054434 4,648790979
10 2,377692565 1,905088155 5,653421936 4,529713942
11 2,379546134 2,101692151 5,662239804 5,001073432
12 2,613006652 2,201659174 6,827803766 5,752950069
13 2,373975089 1,993338843 5,635757724 4,732136756
14 2,466403178 1,880990603 6,083144638 4,639281201
15 2,527327366 2,219203484 6,387383613 5,608653695
16 2,343727036 2,028148247 5,493056421 4,753425881
17 2,527327366 2,172476408 6,387383613 5,490559076
18 2,343727036 1,928618652 5,493056421 4,520155677
19 2,577181926 2,081938422 6,641866679 5,365534072
20 2,702702595 2,33020026 7,304601316 6,297838289
сумма 51,73624456 43,11948613 135,1604235 112,57
Получим систему уравнений
20A+51,736B=43,1251,736A+135,16B=1167,06
Найдем решение системы а и b с помощью функций Excel:
A=0,15B=0,77.
ln(𝑎) = 𝐴, 𝑎 = 𝑒𝐴 = 1,17.
Искомая показательная регрессия: 𝑦̂ =1,17 × x^0,77.
Индекс корреляции является показателем, оценивающим тесноту связи для нелинейных моделей:
ρxy=1-(y-y)(y-y)2 (13)
Найдем индекс корреляции, используя табл. 4.
Таблица 4
i
xi yi
yi
yi-yi
(yi-yi)2
(yi-yi)2
yi-yiyi
1 18,26 11,92 11,04600422 0,873995784 0,76386863 8,970025 0,073321794
2 21,9 8,34 12,71502217 -4,375022168 19,14081897 0,342225 0,524582994
3 12,12 7,08 8,042898789 -0,962898789 0,927174078 3,404025 0,136002654
4 17,52 10,52 10,69785673 -0,17785673 0,031633016 2,544025 0,016906533
5 26,28 18,68 14,64243167 4,037568326 16,30195799 95,160025 0,216143915
6 11,86 8,24 7,909006993 0,330993007 0,10955637 0,469225 0,040169054
7 15,08 10,5 9,525240713 0,974759287 0,950155667 2,480625 0,092834218
8 10,56 7,34 7,229196714 0,110803286 0,012277368 2,512225 0,015095816
9 10,4 7,28 7,144258395 0,135741605 0,018425783 2,706025 0,018645825
10 10,78 6,72 7,345514139 -0,625514139 0,391267938 4,862025 0,093082461
11 10,8 8,18 7,356061721 0,823938279 0,678874288 0,555025 0,100725951
12 13,64 9,04 8,813212652 0,226787348 0,051432501 0,013225 0,025087096
13 10,74 7,34 7,324405703 0,015594297 0,000243182 2,512225 0,002124564
14 11,78 6,56 7,867676623 -1,307676623 1,710018151 5,593225 0,199340949
15 12,52 9,2 8,247628141 0,952371859 0,907012158 0,075625 0,10351868
16 10,42 7,6 7,154891741 0,445108259 0,198121362 1,755625 0,058566876
17 12,52 8,78 8,247628141 0,532371859 0,283419797 0,021025 0,060634608
18 10,42 6,88 7,154891741 -0,274891741 0,075565469 4,182025 0,039955195
19 13,16 8,02 8,572155868 -0,552155868 0,304876103 0,819025 0,068847365
20 14,92 10,28 9,44691085 0,83308915 0,694037531 1,836025 0,081039801
сумма 275,68 178,5 176,4828937 2,017106289 43,55073635 140,8135 1,966626348
Индекс корреляции ρxy= 0,83.
Индекс детерминации: 𝜌𝑥𝑦2 = (0,83)2 = 0,69