В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины X

Вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее x; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Найдем средины интервалов и дополним ими исходную таблицу
Частичные интервалы,
xi
9,7 – 9,8 9,8 – 9,9 9,9 – 10 10 – 10,1 10,1 – 10,2
Середины интервалов,
xi*
9,75 9,85 9,95 10,05 10,15
Частоты, ni
4 11 17 13 5
n=ni=4+11+17+13+5=50 – объем выборки.
Выборочное среднее
x=1nxi*ni=1509,75∙4+9,85∙11+9,95∙17+10,05∙13+10,15∙5=15039+108,35+169,15+130,65+50,75=497,950=9,958
Для вычисления остальных числовых характеристик выборки предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков
μk=1nxi*-xkni k=2, 3, 4
Результаты представлены в таблице
Частичные интервалы xi
Середины интервалов, xi*
Частоты, ni
xi*-x2ni
xi*-x3ni
xi*-x4ni
[9,7; 9,8) 9,75 4 0,173056 0,035996 0,007487
[9,8; 9,9) 9,85 11 0,128304 0,013857 0,001497
[9,9; 10) 9,95 17 0,001088 0,000009 0
[10; 10,1) 10,05 13 0,110032 0,010123 0,000931
[10,1; 10,2] 10,15 5 0,18432 0,035389 0,006795
Σ
50 0,5968 0,095374 0,01671
μk
0,0119 0,001907 0,000334
Выборочная дисперсия s2=μ2=0,0119
Выборочное среднее квадратическое отклонение
s=s2=0,0119≈0,1091
Выборочный коэффициент асимметрии
A*=μ3σ3=0,0019070,10913≈1,4685
Выборочный коэффициент эксцесса
E*=μ4σ4-3=0,0003340,10914-3≈-0,6425
Выборочный коэффициент вариации
V=sx∙100%=0,10919,958∙100%≈1,0956%
Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Дифференциальная функция нормального закона распределения Na, σ с параметрами a, σ имеет вид
fx=1σ2πe-x-a22σ2
Точечными оценками параметров a, σ нормального распределения являются выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение соответственно
a=x=9,958; σ=s=0,1091
Следовательно, дифференциальная функция предполагаемого нормального закона распределения имеет вид
fx=10,10912πe- x-9,95820,0238
интегральная функция предполагаемого нормального закона распределения имеет вид
Fx=10,10912π-∞xe- t-9,95820,0238dt
Используя нормированную функцию Лапласа Фx=12π0xe-t22dt, интегральную функцию распределения нормального закона можно записать в виде
Fx=12+Фx-9,9580,1091
Проведем детальную проверку гипотезы о распределения СВ X по нормальному закону с помощью критерия согласия χ2 . Для этого пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s
ui=xi*-xs
причем наименьшее значение ui положим равным -∞, наибольшее - +∞ (столбец 3 таблицы). Заметим, что так определенная СВ U является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a= 0; σ= 1.
Далее вычисляем теоретические вероятности – вероятности попадания СВ X, распределенной по нормальному закону с параметрами a= 9,958; σ= 0,1091, в частичные интервалы xi*, xi+1* по формуле
pi=Pxi*<X<xi+1*=Фui+1-Фui
где
ui=xi*-xs, Фui=12π0uie-t22dt
(значения функции Лапласа приведены в таблице).
Теоретические вероятности
p1=P-∞<x<9,8=Ф9,8-9,9580,1091-Ф-∞-9,9580,1091=Ф-1,45-Ф-∞=-Ф1,45+Ф∞=-0,4265+0,5=0,0735
p2=P9,8<x<9,9=Ф9,9-9,9580,1091-Ф9,8-9,9580,1091=Ф-0,53-Ф-1,45=-Ф0,53+Ф1,45=-0,2019+0,4265=0,2246
p3=P9,9<x<10=Ф10-9,9580,1091-Ф9,9-9,9580,1091=Ф0,38-Ф-0,53=Ф0,38+Ф0,53=0,148+0,2019=0,3499
p4=P10<x<10,1=Ф10,1-9,9580,1091-Ф10-9,9580,1091=Ф1,3-Ф0,38=0,4032-0,148=0,2552
p5=P10,1<x<+∞=Ф+∞-9,9580,1091-Ф10,1-9,9580,1091=Ф+∞-Ф1,3=0,5-0,4032=0,0968
После этого вычисляют теоретические частоты нормального закона распределения ni'=npi (столбец 5 таблицы) и наблюдаемое значение критерия χ2
χн2=ni-npi2npi
где ni – эмпирические частоты, npi – теоретические частоты.
Частичные интервалы Частоты, ni
Нормированные интервалы, ui, ui+1
Теоретические вероятности, pi
Теоретические частоты, npi
ni-npi2
ni-npi2npi
[9,7; 9,8) 4 (-∞; -1,45) 0,0735 3,675 0,105625 0,0287
[9,8; 9,9) 11 [-1,45; -0,53) 0,2246 11,23 0,0529 0,0047
[9,9; 10) 17 [-0,53; 0,38) 0,3499 17,495 0,245025 0,014
[10; 10,1) 13 [0,38; 1,3) 0,2552 12,76 0,0576 0,0045
[10,1; 10,2] 5 [1,3; +∞) 0,0968 4,84 0,0256 0,0053
Сумма 50 - 1 50 - χн2=0,0572
В результате вычислений получили χн2=0,0572 (столбец 7 таблицы).
Затем по таблицам квантилей распределения χ2 находим критическое значение χкр2=χα, v2 , где α=1-γ – уровень значимости и v=k-r-1 – число степеней свободы (здесь k – число интервалов, r – число параметров предполагаемого закона распределения СВ X)