В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины X. Требуется: а) Вычислить числовые характеристики выборки

Составим статистический ряд распределения частот. В качестве вариант примем середины интервалов:
xi
9,75 9,85 9,95 10,05 10,15
ni
4 11 17 13 5
Объем выборки n=4+11+17+13+5=50
Выборочное среднее вычислим по формуле:
x=1n∙i=15xi∙ni=9,75∙4+9,85∙11+9,95∙17+10,05∙13+10,15∙550=497,950=9,958
Для вычисления остальных числовых характеристик выборки предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков:
Составим расчетную таблицу:
xi
ni
(x-xi)2∙ni
(x-xi)3∙ni
(x-xi)4∙ni
9,75 4 0,1731 -0,036 0,0075
9,85 11 0,1283 -0,0139 0,0015
9,95 17 0,0011 0 0
10,05 13 0,11 0,0101 0,0009
10,15 5 0,1843 0,0354 0,0068
50 0,5968 -0,0044 0,0167
μk=1n∙(x-xi)2∙ni
0,0119 -0,0001 0,0003
Выборочная дисперсия:
S2=μ2=0,0119
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
s=S2=0,0119≈0,1093
Выборочный коэффициент асимметрии:
A*=μ3s3=-0,00010,10933≈-0,0667
Выборочный коэффициент эксцесса:
E*=μ4s4-3=0,00030,10934-3≈-0,6542
Выборочный коэффициент вариации:
V=sx∙100%=0,10939,958∙100%≈1,097%
Выдвинем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами:
a≈x=9,958, σ≈s=0,1093
Дифференциальная функция распределения:
fx=10,1093∙2π∙e-(x-9,958)20,0238
Проведем детальную проверку гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия χ2
Для этого пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s:
ui=xi-xs
При этом, наименьшее значение ui положим равным -∞, а наибольшее ∞
Вычислим теоретические вероятности попадания в интервал:
pi=Фui+1-Фui
Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле:
χн2=(ni-npi)2npi
Составим расчетную таблицу:
Интервал ni
(ui,ui+1)
Ф(ui)
Ф(ui+1)
npi
(ni-npi)2
(ni-npi)2npi
9,7-9,8 4 (-∞;-1,45)
-0,5 -0,4265 3,675 0,1056 0,0287
9,8-9,9 11 (-1,45;-0,53)
-0,4265 -0,2019 11,23 0,0529 0,0047
9,9-10 17 (-0,53;0,38)
-0,2019 0,148 17,495 0,245 0,014
10-10,1 13 (0,38;1,3)
0,148 0,4032 12,76 0,0576 0,0045
10,1-10,2 5 (1,3;∞)
0,4032 0,5 4,84 0,0256 0,0053
0,0572
По таблицам квантилей распределения находим критическое значение χкрит2:
v=5-2-1=2, α=1-γ=0,05
χкрит2=χкрит22;0,05=5,99
Так как χн2<χкрит22;0,05, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Найдем интервальные оценки:
Для математического ожидания:
x-tα,v∙sn tα,v находим по таблице квантилей распределения Стьюдента:
tα,v=t49;0,05=2,01
9,958-2,01∙0,109350 9,927