В таблице для каждого варианта заданы три временных ряда: первый из них представляет валовой национальный продукт (ВНП, в млрд $) за 10 лет уt, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х1t и инвестиции (млрд $) х2t.
Требуется:
а) вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями;
б) построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость уt от факторов х1t и х2t;
в) оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации;
г) проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал;
д) проверить остатки на нормальность распределения;
е) определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно);
Все полученные результаты необходимо интерпретировать.
Номер наблюдения (t=1, 2,…, 10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Вариант 5
15 20 22 14 25 28 25 28 30 31
32 34 41 38 42 48 50 52 54 51
32 28 26 24 25 23 19 27 22 20
Решение
Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (10x4).
Составим вспомогательную расчетную таблицу.
t
Y X1 X2 Y*X1 Y*X2 X1*X2 Y2 X12 X22
1 15 32 32 480 480 1024 225 1024 1024
2 20 34 28 680 560 952 400 1156 784
3 22 41 26 902 572 1066 484 1681 676
4 14 38 24 532 336 912 196 1444 576
5 25 42 25 1050 625 1050 625 1764 625
6 28 48 23 1344 644 1104 784 2304 529
7 25 50 19 1250 475 950 625 2500 361
8 28 52 27 1456 756 1404 784 2704 729
9 30 54 22 1620 660 1188 900 2916 484
10 31 51 20 1581 620 1020 961 2601 400
Сумма 238 442 246 10895 5728 10670 5984 20094 6188
Среднее 23,8 44,2 24,6 1089,5 572,8 1067 598,4 2009,4 618,8
Определяем выборочные дисперсии и средние квадратичные отклонения:
S2y=598,4-23,82=31,96→Sy=5,653
S2x1=2009,4-44,22=55,76→Sx1=7,467
S2x2=618,8-24,62=13,64→Sx1=3,693
Найдем парные коэффициенты корреляции:
ryx1=1089,5-44,2∙23,87,467∙5,653=+0,889
ryx2=572,8-44,2∙23,83,693∙5,653=-0,607
rx1x2=1067-44,2∙24,67,467∙3,693=-0,737
Матрица парных коэффициентов корреляции R:
Y X1 X2
Y 1 +0,889
-0,607
X1 +0,889
1 -0,737
X2 -0,607
-0,737
1
Уравнение множественной линейной регрессии представлено в виде:
yt=β0+β1∙x1t+β2∙x2t+ε
На основании данных таблицы составляем матрицу:
XT∙X=104422464422009410670246106706188
Находим обратную матрицу:
XT∙X-1=30,181-0,317-0,653-0,3170,00390,0058-0,6530,00580,016
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен:
YX=30,181-0,317-0,653-0,3170,00390,0058-0,6530,00580,016∙238108955728=26,1210,2669-0,575
Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:
yx1;x2=26,121+0,2669∙x1-0,575∙x2+ε
Составим вспомогательную таблицу.
t
Y X1 X2 Y(X) e
e2 (Y-Yср)2 |e/Y|
1 15 32 32 16,262 -1,262 1,592 77,440 0,084
2 20 34 28 19,096 0,904 0,818 14,440 0,045
3 22 41 26 22,114 -0,114 0,013 3,240 0,005
4 14 38 24 22,463 -8,463 71,626 96,040 0,605
5 25 42 25 22,956 2,044 4,179 1,440 0,082
6 28 48 23 25,707 2,293 5,257 17,640 0,082
7 25 50 19 28,541 -3,541 12,539 1,440 0,142
8 28 52 27 24,475 3,525 12,427 17,640 0,126
9 30 54 22 27,884 2,116 4,479 38,440 0,071
10 31 51 20 28,233 2,767 7,657 51,840 0,089
Сумма 238 442 246 237,730 0,270 120,586 319,600 1,330
Среднее 23,8 44,2 24,6 23,773 0,027 12,059 31,960 0,133
Средняя ошибка аппроксимации:
A=e/yn=1,3310=0,133=13,3%
Оценка дисперсии равна:
Se2=(Y-Yx)T∙Y-Yx=120,586
Множественный коэффициент корреляции:
R=1-Sey-y2=1-120,586319,6=0,789
Коэффициент детерминации:
R2=1-Sey-y2=1-120,586319,6=0,6227
Проверим гипотезы относительно коэффициентов уравнения регрессии:
Tтабл10-2-1;0,052=Tтабл7;0,025≈2,365;
t0=β0Sβ0=26,12147,828=1,821<2,365;
t1=β1Sβ1=0,26690,457=1,712<2,365;
t2=β2Sβ2=-0,5750,969=-1,875<2,365;
Статистическая значимость всех коэффициентов регрессии не подтверждается.
Проверим остатки на нормальность распределения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
